Si en un cilindro de 8 m de radio y 3 metros de altura añadimos una cierta cantidad al radio se obtendrá el mismo volumen que si se añade esa misma cantidad a la altura.
Determina esa cantidad que hace que los volúmenes sean iguales y cuáles son los volúmenes inicial y final del cilindro.
B) En una pirámide de base cuadrada, de lado a y altura h, expresa la medida de la arista en función del lado y la altura.
Hola!
Sabemos que el Volumen de un Cilindro : V = π×R²×hV = π×8²×3V = 192π
Añadimos al Radio la Cantidad " x " ⇒ Volumen queda dado por : V = π×(R + x)²×hV = π×(8 + x)²×3V = π×(64 + 16x + x²)×3V = π×(192 + 48x + 3x²) ( i )
Añadimos a la Altura la Cantidad " x " ⇒ Volumen queda dado por : V = π×R²×(h + x)V = π×8²×(3 + x)V = π×64(3 + x)V = π×(192 + 64x) ( ii )
Para que los Volúmenes sean iguales debemos igualar la ecuación ( i ) = ( ii ) : V = π×(192 + 48x + 3x²) ( i )V = π×(192 + 64x) ( ii ) ⇒π×(192 + 48x + 3x²) = π×(192 + 64x) ⇒48x + 3x² = 64x3x² = 64x - 48x3x² = 16x3x² - 16x = 0x(3x - 16) = 0 ⇒ Factor Nulox = 0 ⇒ No3x - 16 = 0x = 16 / 3 Cantidad hace que los V sean igualesVerifico : V = π×(R + x)²×hV = π×(8 + 16 / 3)²×3 ⇒V = 533, 3π
V = π×R²×(h + x)V = π×8²×(3 + 16 / 3) ⇒V = π×64×8, 3333) ⇒V = 533, 3π Verifica!
Volumen inicial del Cilindro : V = 192πVolumen final del Cilindro : V = 533, 3πB) Sabemos que la Arista lateral de la pirámide la hallamos por Teorema de Pitágoras (ver archivo gráfico adjunto) y podemos hallar la mitad de la diagonal de la base cuadrada : 1 / 2 Diagonal del Cuadrado : R = a√2 / 2Arista de la Piramide : b = √h² + a² / 2Espero haber contribuido!
Saludos!
