Se tiene un cilindro inscrito en una esfera?

Tarea : Se tiene un cilindro inscrito en una esfera.

Si la altura del cilindro es igual al radio de la esfera, y el volumen de la esfera es 288π cm³, calcular el volumen comprendido entre la esfera y el cilindro.

Respuesta : El volumen pedido es de 126π cm³Explicación paso a paso : Está claro que el volumen pedido es la diferencia entre el volumen de la esfera y el del cilindro.

El volumen de la esfera ya nos lo dan.

Ahora toca calcular el del cilindro y para ello hay que saber el radio que tienen los círculos que forman las bases.

Para ello fíjate en la figura adjunta donde te he dejado bastante detallado cómo llegar a calcularlo.

Primero calculamos el radio de la esfera ya que nos dan su volumen y la fórmula dice : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%5Cdfrac%7B4%2A%5Cpi%2Ar%5E3%7D%7B3%7D%20%5C%20...%20despejo%5C%20el%5C%20radio...%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20r%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cdfrac%7B3V%7D%7B4%5Cpi%7D%7D%20%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cdfrac%7B3%2A288%2A%5Cpi%20%7D%7B4%2A%5Cpi%7D%7D%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B216%7D%20%3D6%5C%20cm." />Conocido el radio de la esfera, puedes ver el triángulo rectángulo que se forma entre él (hipotenusa), la mitad de la altura del cilindro (cateto menor) - - - puesto que al estar inscrito el cilindro en la esfera, implica que comparten el mismo centro - - - y el radio de la base del cilindro (cateto mayor) que es lo que queremos conocer.

Aplicamos Pitágoras : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R%5E2%3DC%5E2%3DH%5E2-c%5E2%3D6%5E2-3%5E2%3D36-9%3D27" />He dejado el valor del cateto elevado al cuadrado - - - que recordemos que es el radio de la base del cilindro - - - porque ya nos valdrá así para calcular el área del mismo ya que es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%5Cpi%20%2AR%5E2%3D27%5Cpi%20%5C%20cm%5E2" />Queda ahora multiplicar por la altura del cilindro para conocer su volumen y finalmente restarlo del volumen de la esfera : Volumen cilindro = 27π × 6 = 162π cm³Y efectuando la resta : 288π - 162π = 126π cm³Saludos.