Se quiere fabricar una caja sin tapa con base cuadrada, de capacidad de 12 pies cúbicos ;a?

Datos :

V = 12 ft³

Caja cuadrada sin tapa.

A)

El área de la caja es :

A = Área de base + 4(h x l)

Como es cuadrada, entonces la base se eleva al cuadrado la magnitud

del lado (l).

Área de Base = l²

Quedando la expresión para las dimensiones de la caja :

A = l² + 4(h x l)

B)

Para hallar las dimensiones se parte de la fórmula

del volumen (V).

V = l² x h

Despejando la altura (h).

H = V / l²

Pero V = 12 ft³

h = 12 ft³ / l²

Ahora se sustituye en la fórmula del área.

A = l² + 4(12 / l² x l)

A = l² + (48 / l)

Para que sea con el mínimo material posible se debe aplicar la

derivada de la formula e igualarla a cero (0).

A’ = l²’ + (48 / l)’

Derivando e igualando a cero.

0 = 2l³ + 48( - 1 / l²)

0 = (2l³ - 48) / l²

Quedando :

0 = 2l³ - 48

Despejando l :

l³ = 48 / 2

l³ = 24

l = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%5B3%5D%7B24%7D%20" /> = 2, 884499 ft

l = 2, 884499 ft

Ahora se calcula la altura (h).

H = 12 ft³ /

l²

h = 12 ft³ / (2, 884499

ft)² = 12 ft³ / 8, 320334 ft² = 1, 44225 ft

h = 1, 44225

ft.