Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 500 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.
En resumen
Sea x la base de la caja, y su altura. La superficie total de la caja es la superficie de la base más la de los 4 lados laterales. S = x² + 4 x yPor otro lado es x² y = 500 es el volumen. Expresamos S en función de una sola variable.
Sea x la base de la caja, y su altura.
La superficie total de la caja es la superficie de la base más la de los 4 lados laterales.
S = x² + 4 x yPor otro lado es x² y = 500 es el volumen.
Expresamos S en función de una sola variable.
Y = 500 / x²S = x² + 2000 / xUna función es mínima en los puntos en que se anule su primera derivada y la segunda derivada positiva en los puntos críticos.
Derivamos S' = 2 x - 2000 / x²S'' = 2 + 4000 / x³ ; es positiva para toda x positivaS' = 0 = 2 x - 2000 / x²1000 / x² = x ; x³ = 1000 ; por lo tanto x = 10 cmy = 500 / x² = 500 / 10² = 5 cmRespuesta : lado de la base = 10 cm ; altura = 5 cmSuperficie mínima : S = 100 + 2000 / 10 = 300 cm²Adjunto dibujo de S donde se aprecia el punto (10, 300)Mateo.
