Los vertices de una hiperbola son los puntos ( - 2 2) y ( - 2 - 4) y la longitud de su lado recto es 2 ?

Los vértices de una hipérbola son los puntos ( - 2 2) y ( - 2 - 4) y la longitud de su lado recto = 2.

Hallar la ecuación de la curva, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.

Hola!

Debemos tener presente para resolver los parámetros de una Hipérbola, el formato de su ecuación y sus relaciones : Haciendo un pequeño esquema de la posición de los Vértices podemos darnos cuenta de que se trata de una Hipérbola Vertical ( su eje Focal es ║ a el eje y), por lo tanto la forma que tendrá su ecuación será : y² / a² - x² / b² = 1

V₁ (h ; k + a)V₂ (h ; k - a)F₁ (h ; k + c)F₂ (h ; k - c)Centro C (h ; k)Lr = 2b² / aRelación Pitagórica : c² = a² + b²Asíntota 1 : y = a / b(x - h) + kAsíntota 2 : y = - a / b(x - h) + kExcentricidad : e = c / a

Hallamos los parámetros : V₁ (h ; k + a) V₁ ( - 2 ; 2) ⇒ h = - 2 k + a = 2 ( i )V₂ (h ; k - a)V₂ ( - 2 ; - 4) ⇒ k - a = - 4 ( ii ) Resuelvo ecuaciones ( i ) y ( ii ) (metodo de reduccion : las sumo) ⇒2k = - 2 ⇒ k = - 1Centro C( - 2 ; - 1) ( i ) k + a = 2 ⇒ - 1 + a = 2 ⇒ a = 3 Semieje TransversalSabemos que el lado recto Lr = 2b² / a = 2 ⇒2b² = 2(3) ⇒ 2b² = 6b2 = 3 ⇒ b = √3 Semieje Conjugado

c² = a² + b²c² = 3² + (√3)²c² = 9 + 3c² = 12c = √12 = √4×3c = 2√3 Semieje Focal

F₁ (h ; k + c)F₁ ( - 2 ; - 1 + 2√3)F₁ ( - 2 ; 2, 46) Foco₁F₂ (h ; k - c)F₂ ( - 2 ; - 1 - 2√3)F₂ ( - 2 ; - 4, 46) Foco₂Excentricidad : e = c / ae = 2√3 / 3 = 1.

15 Excentricidady² / a² - x² / b² = 1 y² / 3² - x² / (√3)² = 1y² / 9 - x² / 3 = 1 Ecuación de la HipérbolaDejo un archivo adjunto con la graficación de la Hipérbola y los cálculos de las asíntotas para un graficado más exacto.

Espero haber ayudado!

Exitos!