Hallar la ecuacion de la perpendicular a la recta 2x + 7y - 3 = 0 en su punto de interseccion con 3x - 2y + 8 = 0?

Hola : D ,

Para resolver este problema necesitas varios conceptos claves , primero que todo es ver que nos preguntan , nos preguntan acerca de la ecuación de una recta , se sabe que necesitamos mínimo 1 punto que pertenezca a ella y la pendiente.

Nos piden la ecuación perpendicular a la recta 2x + 7y - 3 = 0 , la condición para que la otra recta sea perpendicular , es que el producto de sus pendientes sea 1 :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7B1%7D%20%2A%20m_%7B2%7D%20%3D%20-1" />

Para determinar la pendiente de la recta , despejamos la ecuación dejándola en su forma particular ( dejar la variable "y" a un lado) :

2x + 7y - 3 = 0

7y = - 2x + 3

y = - 2x 3 ___ + ____ 7 7

El término que acompaña a la "x" es la pendiente , recuerda la definición de una ecuación particularde la recta que solo necesita la pendiente e intercepto :

y = mx + b

donde m es la pendiente y b el intercepto con el eje "y" .

Bueno , por lo tanto nuestra pendiente es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-2%7D%7B7%7D" />

Para hallar la pendiente que buscamos , la cual es perpendicular a esta , lo hacemos con la condición planteada anteriormente ,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7B1%7D%20%2A%20m_%7B2%7D%20%3D%20-1" />

Reemplazando :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B-2%7D%7B7%7D%20%2A%20m_%7B2%7D%20%3D%20-1%20%5C%5C%20%5C%5Cm_%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D" />

Ya tenemos la pendiente de nuestra nueva recta que es perpendicular .

Ahora nos hace falta un punto para reemplazarlo en la nueva recta

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20-%20y_%7B0%7D%20%3D%20m_%7B2%7D%28x%20-%20x_%7B0%7D%29" />

Por ahora está así nuestra recta :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20-%20y_%7B0%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B7%28x-x_%7B0%7D%29%7D%7B2%7D" /> ❸

Para hallar el punto de intersección resolvemos un sistema de ecuaciones , la solución será ese punto :

❶2x + 7y - 3 = 0 = > 2x + 7y = 3

❷3x - 2y + 8 = 0 = > 3x - 2y = - 8

Hay varios métodos de resolución , lo realizaré con el método de reducción , amplfico❶ * - 3 y❷ * 2 resultando : - 6x - 21y = - 9

6x - 4y = - 16

Sumando las ecuaciones : - 25y = - 25

y = 1

Sustituyendo este valor en la ecuación❶ :

2x + 7y = 3

2x + 7 = 3

2x = - 4

x = - 2

Tenemos el punto de intersección : x = - 2 e y = 1 = > ( - 2, 1)

Reemplazando en la ecuación❸ :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-1%20%3D%20%5Cfrac%7B7%28x%2B2%29%7D%7B2%7D%20%2F%2A2%20%5C%5C%20%5C%5C%202%28y-1%29%20%3D%207%28x%2B2%29%20%5C%5C%202y-2%20%3D%207x%20%2B%2014%20%5C%5C%207x%20-%202y%20%2B%2016%20%3D%200" />

Esa es la ecuación perpendicular a la recta 2x + 7y - 3 = 0 en su punto de intersección con 3x - 2y + 8 = 0.

Saludos.