Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferenciax2 + y2 - 2x + 3y - 18 = 0 si dich recta contiene el punto (5, 5)?

Hay dos rectas tangentes a la circunferencia que pasa por le punto (5 , 5)

Es de la forma : y - y1 = m (x - x1) ; para el punto (5, 5) :

y - 5 = m (x - 5) ; y = m x - 5 m + 5

El procedimiento es el siguiente : se halla la intersección de la recta con la circunferencia y se impone a la ecuación de segundo grado que resulta la condición que tenga una única solución (condición de tangente) ; de acá surge una ecuación de segundo grado en m, de donde resultan las dos pendientes de las tangentes.

X ^ 2 + (m x - 5 m + 5) ^ 2 - 2 x + 3 (m x - 5 m + 5) - 18 = 0 ; quitamos paréntesis y reordenamos como un polinomio en x :

x ^ 2 (1 + m ^ 2) + x ( - 10 m ^ 2 + 13 m - 2) + 25 m ^ 2 - 65 m + 22 = 0

Imponemos a esta ecuación que tenga solución (en x) única (discrimiante = 0) y resulta una ecuación de segundo grado e m :

( - 10 m ^ 2 + 13 m - 2) ^ 2 - 4 (1 + m ^ 2) (25 m ^ 2 - 65 m + 22) = 0

Quitando paréntesis nos queda :

21 m ^ 2 + 208 m - 84 = 0, cuyas soluciones son :

m = 0, 389 ; m = - 10, 3

Las ecuaciones de las rectas tangentes son :

y - 5 = 0, 389 (x - 5)

y - 5 = - 10, 3 (x - 5)

Te adjunto un archivo con las gráficas.

Saludos Herminio.