Como puedo demostrar identidades trigonometricas?

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de untriángulo rectánguloasociado a sus ángulos.

Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en unacircunferencia unitaria(de radio unidad).

Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas.

Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.

Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo elverseno(1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

FunciónAbreviaturaEquivalencias (en radianes)Seno

sin (sen)

Coseno

cos

Tangente

tan

Cotangente

ctg (cot)

Secante

sec

Cosecante

csc (cosec)

[editar]Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo : , del vérticeA, se parte de untriángulo rectánguloarbitrario que contiene a este ángulo.

El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será :

Lahipotenusa(h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

Elcateto opuesto(a) es el lado opuesto al ángulo.

Elcateto adyacente(b) es el lado adyacente al ángulo.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a πradianes(o 180°).

En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π / 2 radianes.

Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango :

1) Elsenode un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa :

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) Elcosenode un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa :

3) Latangentede un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente :

4) Lacotangentede un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto :

5) Lasecantede un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente :

6) Lacosecantede un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto :

[editar]Funciones trigonométricas de ángulos notables

0°30°45°60°90°sen

0

1

cos

1

0

tan

0

1

[editar]Definición para un número real cualquiera

No es posible utilizar la definición dada anteriormente del seno o el coseno depara valores demenores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π / 2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos midaradianes.

Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano.

Se definirán las funciones trigonométricas seno y coseno como la abscisa y la ordenada, respectivamente, de un punto P perteneciente a la misma, siendoel ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.

Puede observarse que estas funciones toman valores entre - 1 y 1.

Nótese que para valores entre 0 y π / 2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica.

Si el valor de x esta fuera del intervalo [0, 2π], puede descomponerse como x = 2kπ + x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π.

Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.

[editar]Representación gráfica.