Demostrar la siguiente identidad trigonométrica :cot4A + cot2A = cosec4A + cosec2A?

Tenemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=ctg%284x%29%2Bctg%282x%29%3Dcsc%284x%29%2Bcsc%282x%29" />

Quien te manda a hacer éstos ejercicio para más fáciles.

Jaja.

Bueno, el propósito siempre es tratar de usar cosas básica y que podamos manejar fácilmente, para eso siempre debemos tratar de llevar todo a senos y cosenos.

Como lo mencioné, no es necesario que te aprendas varia fórmulas sino que sepas demostrarlas.

Me parece que en el ejercicio anterior también lo hice.

Pero bueno.

Consideremos la siguiente identidad

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sin%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%2Bcos%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%3D1" />

dividamos todo por<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sin%20%5E%7B2%7D%20%28x%29" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%201%2Bctg%5E%7B2%7D%20%28x%29%3Dcsc%20%5E%7B2%7D%20%28x%29" />

y obtuvimos ésta identidad que es la que vamos a usar.

Entonces, cuando vamos a hacer demostraciones, podemos escoger de que lado salir en éste caso vamos a salir del lado derecho.

E intentaremos llegar al lado izquierdo.

Supongamos que el signo haya sido positivo.

Entonces :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=csc%20%5E%7B4%7D%20%28x%29%2Bcsc%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%20%5C%5C%20%28csc%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%29%20%5E%7B2%7D%20%2Bcsc%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%20%20%5C%5C%20%281%2Bctg%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%20%5E%7B2%7D%20%2B%281%2Bctg%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%20%5C%5C%20%281%2B2ctg%20%5E%7B2%7D%28x%29%2B%20ctg%5E%7B4%7D%28x%29%20%20%29%2B%281%2Bctg%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%20%5C%5C%202%2B3ctg%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%2Bctg%20%5E%7B4%7D%20%28x%29" />

y no se cumpla la igualdad.

Entonces debe ser negativo, probemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=csc%20%5E%7B4%7D%20%28x%29-csc%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%20%5C%5C%20%28csc%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%29%20%5E%7B2%7D%20-csc%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%20%5C%5C%20%281%2Bctg%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%20%5E%7B2%7D%20-%281%2Bctg%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%20%5C%5C%20%281%2B2ctg%20%5E%7B2%7D%28x%29%2B%20ctg%5E%7B4%7D%28x%29%20%29-%281%2Bctg%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%20%5C%5C%20ctg%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%2Bctg%20%5E%7B4%7D%20%28x%29" />

y ahí si, la igualdad se cumple, entonces seguramente copió mal tu profe.

En fin, eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.