6. Si se suman el cuarto y el sexto termino de una progresión aritmética se obtiene 20, pero si se multiplican el tercer con el quinto termino de la misma progresión aritmética se obtiene también 20?

Los términos indicados pueden representarse todos en función de uno solo, de este modo :

4º término : x

6º término : x + d + d = x + 2d

3º término : x - d

5º término : x + d

Ahora se plantea el sistema de ecuaciones según el texto.

1ª) .

X + (x + 2d) = 20⇒⇒⇒ 2x + 2d = 20 ⇒⇒⇒ x + d = 10 ⇒⇒⇒ x = 10 - d

2ª) .

(x - d)·(x + d) = 20 ⇒⇒⇒ x² - d² = 20

Sustituyo el despeje de la primera en la segunda.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%2810-d%29%5E2-d%5E2%3D20%20%5C%5C%20%5C%5C%20100%2Bd%5E2-20d-d%5E2%3D20%20%5C%5C%20%5C%5C%20100-20%3D20d%20%5C%5C%20%5C%5C%2080%3D20d%20%5C%5C%20%5C%5C%20d%3D4" />

Con esto he calculado la DIFERENCIA entre términos consecutivos.

Ahora sustituyo ese valor en el despeje de la 1ª ecuación y conoceré "x" que es el 4º término a₄ .

X = a₄ = 10 - 4 = 6

Acudiendo a la fórmula general de cualquier progresión aritmética calculo el primer término a₁ .

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%20%3D%20a_1%2B%28n-1%29%2Ad%20%5C%5C%20%5C%5C%20a_4%3D6%3Da_1%2B%284-1%29%2A4%20%5C%5C%20%5C%5C%20a_1%3D%206-12%3D-6" />

Ya tengo el primer término.

Ahora calculo el quinto término sumando la diferencia "d" al valor del 4º término.

6 + 4 = 10 = a₅

Finalmente se usa la fórmula de suma de términos para llegar a la respuesta :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_5%3D%20%5Cfrac%7B%28a_1%2Ba_5%29%2An%7D%7B2%7D%20%3D%5Cfrac%7B%28-6%2B10%29%2A5%7D%7B2%7D%20%3D10%5C%20%5C%20%5C%20opci%5C%27on%5C%20b%29" />

Saludos.