Una caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 150 cm 3. El precio del material utilizado para la base es de 6 euros por centímetro cuadrado, y el utilizado para las caras laterales y la tapa es de 2 euros por centímetro cuadrado. Indique la altura que le corresponde a la caja que resulte lo más económica posible.
En resumen
La altura de la caja más económica posible es, aproximadamente, 8. 43 cm. Explicación paso a paso : La función objetivo es el costo de construcción de la caja basado en el área superficial de la misma.
La altura de la caja más económica posible es, aproximadamente, 8.
43 cm.
Explicación paso a paso : La función objetivo es el costo de construcción de la caja basado en el área superficial de la misma.
Si llamamos h la altura de la caja y x la longitud del lado de la base de la caja ; la función objetivo viene dada por la suma del costo de los cuatro lados, la cara inferior cuadrada, a 6 euros por centímetro cuadrado, y la cara superior cuadrada, a 2 euros por centímetro cuadrado : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=C%3D%282%29x%5E%7B2%7D%2B%286%29x%5E%7B2%7D%2B%282%29%284%29xh%3D8x%5E%7B2%7D%2B8xh%20" /> Lo conveniente es que el Costo esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3Dx%5E%7B2%7Dh%3D150%5Cqquad%20%5CRightarrow%5Cqquad%20h%3D%5Cfrac%7B150%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D" /> por tanto la función objetivo es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=C%3D8x%5E%7B2%7D%2B8x%5B%5Cfrac%7B150%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%5D%3D8x%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1200%7D%7Bx%7D%20" /> Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función.
Esto es derivar la función e igualar a cero.
Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de C.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=C%E2%80%99%3D16x-%5Cfrac%7B1200%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=C%27%3D0%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%2016x-%5Cfrac%7B1200%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%3D0%5Cquad%20%5CRightarrow%20" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%2016x%5E3-1200%3D0%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20%5Cbold%7Bx%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B75%7D%7D" /> Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=C%27%27%3D16%2B%5Cfrac%7B2400%7D%7Bx%5E%7B3%7D%7D%20" /> Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=C%27%27%3D16%2B%5Cfrac%7B2400%7D%7B%5B%5Csqrt%5B3%5D%7B75%7D%5D%5E%7B3%7D%7D%20%3E0%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20x%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B75%7D" />0 \ quad \ Rightarrow \ quad x = \ sqrt[3]{75}" alt = "C'' = 16 + \ frac{2400}{[ \ sqrt[3]{75}] ^ {3}} >0 \ quad \ Rightarrow \ quad x = \ sqrt[3]{75}" align = "absmiddle" class = "latex - formula"> es un mínimo de la función C.
Sustituimos el valor de la longitud del lado en la ecuación de cálculo de la altura h :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbold%7Bh%3D%5Cfrac%7B150%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%5Cqquad%20%5CRightarrow%5Cqquad%20h%3D%5Cfrac%7B30%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B45%7D%7D%7D" /> La altura de la caja más económica posible es, aproximadamente, 8.
43 cm.
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