Optimizacion :Se debe fabricar una caja sin tapa a partir de un cuadrado de cartón de 176cm por 98cm, cortandocuadrados de las esquinas y doblando hacia arriba las cejas formadas?

La cantidad que se corta en cada esquina es equivalente a la altura de las paredes de la caja, llamemosle x a esa cantidad

una vez cortadas las esquinas y hechos los dobleces, el largo y ancho de la caja seran <img src="https://tex.z-dn.net/?f=176-2x%20%5Cqquad%20y%20%5Cqquad%2098-2x" />

Calculamos el Volumen (area de la base por altura)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%28176-2x%29%2898-2x%29%28x%29%5C%5CV%3Dx%2817248-548x%2B4x%5E2%29%5C%5CV%3D4x%5E3-548x%5E2%2B17248x%5C%5C%20" />

Si queremos saber el Volumen maximo al variar x, buscamos la derivada del Volumen con respecto a x y buscamos que valores la hacen igual a 0

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bd%5C%2CV%28x%29%7D%7Bdx%7D%3D3%284x%5E2%29-2%28548x%29%2B17248%5C%5C%20%5Cfrac%7Bd%5C%2CV%28x%29%7D%7Bdx%7D%3D12x%5E2-1096x%2B17248%5C%5C%20%5C%5CIgualando%20%5Ca%20%5C0%3A%20%5C%5C%20%5C%5C%2012x%5E2-1096x%2B17248%3D0%5C%5C%20%5C%5C%20x%3D%5Cfrac%7B-%28-1096%29%5Cpm%20%5Csqrt%7B%28-1096%29%5E2-4%2812%29%2817248%29%7D%7D%7B2%2812%29%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%3D%5Cfrac%7B1096%5Cpm%20%5Csqrt%7B373312%7D%7D%7B24%7D%3D%5Cfrac%7B1096%5Cpm%20%5Csqrt%7B%282%5E6%29%285833%29%7D%7D%7B24%7D%3D%5Cfrac%7B1096%5Cpm%208%5Csqrt%7B5833%7D%7D%7B24%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28137%5Cpm%20%5Csqrt%7B5833%7D%29%20" />

obtenemos 2 valores, evaluamos V(x) en ambos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28137%2B%5Csqrt%7B5833%7D%29%29%3D-106220.74%5C%5C%20V%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28137-%5Csqrt%7B5833%7D%29%29%3D157773.33%20" />

Entonces vemos que el Volumen es maximo para :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Altura%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%28137-%5Csqrt%7B5833%7D%29%5Capprox%2020.21%5C%5C%20%5C%5CV_%7Bmax%7D%3D157773.33%5C%2Ccm%5E3%20" />.