El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫f(x)dx = F(x) + C?

Resolver

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bsen%28x%29%7D%20%20%5C%2C%20dx%20" />

Solución

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bsen%28x%29%7D%20%20%5C%2C%20dx%20" />

Reescribir usando identidades trigonométricas e hiperbólicas.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5Cfrac%7Bsec%5E%7B2%7D%28x%2F2%29%20%7D%7B%28tan%28x%2F2%29%20%2B1%29%5E%7B2%7D%20%20%7D%20%5C%2C%20dx" />

Sustituir u = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=tan%28x%2F2%29%20%2B%201" />, dx = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bsec%5E%7B2%7D%28x%2F2%29%20%7D%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%5E%7B2%7D%20%7D%20%5C%2C%20du" />

Resolviendo esta integral, aplicando la regla de la potencia :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%5Cint%20u%5E%7Bn%7D%20%20%5C%2C%20du%20%3D%20%20u%5E%7Bn%2B1%7D%20%20%2F%20%28n%2B1%29%20%3D%20-2%2Fu" />

Ahora revertir la sustición de u = tan(x / 2) + 1

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bsen%28x%29%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7Btan%28x%2F2%29%2B1%7D%20" />.