Con una cuerda de 1 m de largo, construir, cortando la cuerda, dos figuras : un cuadrado y una circunferencia, de tal manera que la suma de sus áreas sean mínimas?

Una parte de la cuerda mide x, lo utilizamos para el cuadrado, y la otra parte mide 1 - x que lo utilizaremos para la circunferencia<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_%5Csquare%28x%29%3D%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D%7B16%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5CA_%7B%5Ccirc%7D%28x%29%3D%5Cdfrac%7B%281-x%29%5E2%7D%7B4%5Cpi%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5CS%28x%29%3D%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D%7B16%7D%2B%5Cdfrac%7B%281-x%29%5E2%7D%7B4%5Cpi%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%5Ctext%7BCon%20ayuda%20de%20la%20primera%20derivada%20hallemos%20los%20puntos%20cr%5C%27iticos%7D%5C%5C%20%5C%5CS%27%28x%29%3D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B8%7D-%5Cdfrac%7B1-x%7D%7B2%5Cpi%7D%3D0%5C%5C%20%5C%5C%282%5Cpi%2B8%29x-8%3D0%5C%5C%20%5C%5Cx%3D%5Cdfrac%7B4%7D%7B%5Cpi%2B4%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%5Ctext%7BCon%20la%20segunda%20derivada%20veremos%20si%20este%20punto%20es%20alg%5C%27un%20extremo%7D%3A%5C%5C%5C%5CS%27%27%28x%29%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B8%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%3E0%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Ctext%7BEsto%20indica%20que%20la%20gr%5C%27afica%20de%20%24S%24%20siempre%20se%20abre%20hacia%20arriba%7D" />0 \ \ \ \ \ \ \ text{Esto indica que la gr \ 'afica de $S$ siempre se abre hacia arriba}" alt = "A_ \ square(x) = \ dfrac{x ^ 2}{16} \ \ \ \ \ \ A_{ \ circ}(x) = \ dfrac{(1 - x) ^ 2}{4 \ pi} \ \ \ \ \ \ S(x) = \ dfrac{x ^ 2}{16} + \ dfrac{(1 - x) ^ 2}{4 \ pi} \ \ \ \ \ \ \ text{Con ayuda de la primera derivada hallemos los puntos cr \ 'iticos} \ \ \ \ S'(x) = \ dfrac{x}{8} - \ dfrac{1 - x}{2 \ pi} = 0 \ \ \ \ (2 \ pi + 8)x - 8 = 0 \ \ \ \ x = \ dfrac{4}{ \ pi + 4} \ \ \ \ \ \ \ text{Con la segunda derivada veremos si este punto es alg \ 'un extremo} : \ \ \ \ S''(x) = \ dfrac{1}{8} + \ dfrac{1}{2 \ pi}>0 \ \ \ \ \ \ \ text{Esto indica que la gr \ 'afica de $S$ siempre se abre hacia arriba}" align = "absmiddle" class = "latex - formula">Por ende los trozos midenPara el cuadrado : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B4%7D%7B4%2B%5Cpi%7D" />Para la circunferencia : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%2B%5Cpi%7D" />.