Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos piezas, una de las cuales se dobla en un cuadrado y la otra en un triángulo equilátero. Halle la longitud de la pieza de alambre con la que se hace el triángulo equilátero con la que la suma del área encerrada por las dos piezas sea mínima.
En resumen
Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos piezas, una de las cuales se dobla en un cuadrado y la otra en un triángulo equilátero.
Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos piezas, una de las cuales se dobla en un cuadrado y la otra en un triángulo equilátero.
La máxima área encerrada es cuando x = 10, es decir dolo se construye el cuadrado y la mínima área encerrada es cuando x = 4, 35 y se construyen ambas figurasOptimizacion : El alambre : |___________|_______________| x 10 - xDe la figura del triangulo (adjunto), con el Teorema de Pitagoras, obtenemos : h² + [(10 - x) / 6]² = [(10 - x) / 3]²h² = 1 / 9(10 - x)² - 1 / 36 (10 - x)²h² = 3 * 36(10 - x)²h = √3 / 6(10 - x)Área del cuadrado : Ac = (x / 4)²Ac = x² / 16Área del triangulo : At = 1 / 2 * base * hAt = 1 / 2 * 1 / 3(10 - x) * √3 / 6(10 - x)At = √3 / 36(10 - x)²Área Total : At = √3 / 36(10 - x)² + x² / 16A esa función la derivamos e igualamos a cero para obtener los puntos críticos : At´ = 1 / 8x + √3 / 36 * (10 - x)( - 1)At´ = x / 8 - √3 / 18(10 - x)At´ = x / 8 - 5√3 / 9 + √3 / 18At´ = 9 + 4√3 / 72 - 5√3 / 90 = 9 + 4√3 / 72 - 5√3 / 9x = 72(5√3) / 9(9 + 4√3) = 40√3 / 9 + 4√3x = 4, 35La máxima área encerrada es cuando x = 10, es decir dolo se construye el cuadrado y la mínima área encerrada es cuando x = 4, 35 y se construyen ambas figuras.
Ambas son falsas : el triangulo equilatero tiene sus tres lados iguales y el triangulo isosceles tiene dos lados iguales.
Respuesta : Perímetro para la circunferencia es : 100π / 4 + πPerímetro del cuadrado : 400 / 4 + πExplicación paso a paso : Supongamos que el alambre se parte a una distancia x en uno de sus extremosx : es la longitud…