A)
El plano paralelo a la recta s que contiene a la
recta r.
Se transforman las rectas r y s en su forma paramétrica.
Para r :
X = λ1
Y = λ1 + 3
Z = 2λ1 + 2
r : λ1(1, 1, 2) + (0, 3, 2)
Para s :
X = 2λ2 + 3
Y = - 1 / 3
Z = λ2
s : λ2(2, 0, 1) + (3, - 1 / 3, 0)
Si las rectas pueden ser contenidas en un mismo plano, ambas deben
o ser paralelas o interceptarse en un punto.
Verificar paralelismo :
(1, 1, 2) = β(2, 0, 1)
β = 1 / 2 = ∞ = 2
Como los valores de β no coinciden, las rectas no son paralelas.
Verificar intercepción :
Las rectas deben coincidir en un punto.
2λ2 + 3 = λ1 (1)
λ1 + 3 = - 1 / 3 (2)
2λ1 + 2 = λ2
(3)
De la ecuación 2 se tiene que λ1 = - 10 / 3.
Los valores de λ2 son - 19 / 6 o - 14 / 3.
Pr ( - 10 / 3, - 1 / 3, - 14 / 3)
Ps1 ( - 10 / 3, - 1 / 3, - 19 / 6)
Ps2( - 19 / 3, - 1 / 3, - 14 / 3)
Como las rectas r y s no tienen punto de intersección,
se concluye que no existe un plano
paralelo a s y que contenga a r.
B)
La recta t que pasa por el punto (0, 0, 0),
sabiendo que el vector director de t es perpendicular al vector director de r y
también es perpendicular al vector director de s.
Si el vector director de t es perpendicular a r y s al mismo
tiempo, entonces quiere decir que el director de t es el resultado del producto
vectorial de los directores de r y s.
Vdt = Vdr x
Vds = (1, 1, 2) x (2, 0, 1)
Vdt = (1,
3, - 2)
La recta t
es :
t : λ(1, 3, - 2) + (0, 0, 0)
c)
Averiguar razonadamente si existe o no un plano
perpendicular a s que contenga a la recta r.
Si el plano es perpendicular a la recta s, su normal
entonces será el vector director de la recta, es decir :
N = Vds = (2, 0, 1)
De existir un plano perpendicular a s y que contenga a r, se
puede demostrar que el vector director de la recta r y la normal del plano
deben ser perpendiculares, esto se verifica con el producto escalar.
N o Vdr = |N| * |Vdr| * Cos(σ)
|N| = √2 ^ 2 + 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = √5
|Vdr| = √1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 = √6
(2, 0, 1) o (1, 1, 2) = √5 * √6 * Cos(σ)
2 + 2 = √5 * √6 * Cos(σ)
4 / √30 = Cos(σ)
σ = ArcCos(4 / √30) = 43, 09 º
El ángulo entre el vector normal del supuesto plano y el director
de la recta r no son perpendiculares, por lo tanto es imposible encontrar un
plano perpendicular a s y que contenga a r.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015
MATEMÁTICAS II.