Acá te dejo la respuesta para lapregunta1de la prueba de selectividad deMadridconvocatoriaJun 2014 - 2015deFísica :
a)La velocidad
orbital de la luna exterior y el radio de la órbita de la luna interior.
La
velocidad en la órbita se obtiene de lasiguiente expresión y tomando en
consideración que eldiámetro mide 2, 14.
10⁶
km y quela órbita tendrá un radio de 1, 07x10⁹ m,
v = ω.
R = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B2%20%5Cpi%20r%7D%7BT%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=v%20%3D%20%5Cfrac%7B2%20%5Cpi%20.1%2C07.10%5E%7B9%7D%20%7D%7B171%2C6.3600%7D%0A%3D%2010883%5Cfrac%7Bm%7D%7Bs%7D%20%3D%201%2C09.10%5E%7B4%7D%20%5Cfrac%7Bm%7D%7B2%7D%20" />
Usando la tercera ley de Kepler :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BR%5E%7B3%7Dext%7D%7BR%5E%7B3%7Dint%7D%20%3D%0A%5Cfrac%7BT%5E%7B2%7Dext%7D%7BT%5E%7B2%7Dint%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20R%5E%7B3%7Dint.%20T%5E%7B2%7Dext%20%3D%20R%5E%7B3%7Dext.%0AT%5E%7B2%7Dint" />
Despejando obtenemos que :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Rint%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%20%5Cfrac%7B%20R%5E%7B3%7Dext.%20T%5E%7B2%7Dint%0A%7D%7BT%5E%7B2%7Dext%20%7D%20%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Rint%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%20%5Cfrac%7B%20%281%2C07.10%5E%7B9%7D%20%29%5E%7B3%7D.%0A%2842.3600%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B%28171%2C6.3600%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%7D%20" /> = 4, 19.
10⁸ m
b)La masa del
planeta y la aceleración de la gravedad sobre su superficie si tiene un diámetro
de 2, 4·104 km.
Dentro de la fuerza
centrífuga es iguala la fuerza
gravitatoria, por lo tanto :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m.%20%5Cfrac%7B%20v%5E%7B2%7D%20%7D%7Br%7D%20%3D%20G.%20%5Cfrac%7BMm%7D%7B%20r%5E%7B2%7D%0A%7D%20" />
Despejando obtenemos,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=M%20%3D%20%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D.r%20%7D%7BG%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%0A%281%2C09.10%5E%7B4%7D%20%29%5E%7B2%7D.1%2C07.10%5E%7B9%7D%20%7D%7B6%2C67.10%5E%7B-11%7D%20%7D%20" /> = 1, 91.
10²⁷ kg
Conociendo que 1, 2.
10⁷es el radio,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=g%20%3D%20%5Cfrac%7B6%2C67.10%5E%7B-11%7D.1%2C91.10%5E%7B27%7D%20%7D%7B%0A%281%2C2.10%5E%7B7%7D%20%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%3D" /> 885<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bm%7D%7B%20s%5E%7B2%7D%20%7D%20" />.