Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
A) primero escribimos la recta r de forma paramétrica
r = x = ty = - 2tz = 0
cualquier punto en la recta tendra que ser de la forma (t, - 2t, 0), ahora, nos piden que el triangulo formado por los puntos ABC sea rectangulo en A, esto quiere decir que los vectores AB = (2, 0, 2) y AC = (t, - 2t - 1, - 1) deben ser perpendiculares, por lo tanto su producto escalar es igual a 0.
Esto es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=AB.AC%20%3D%20%282%2C0%2C2%29.%28t%2C-2t-1%2C%20-1%29%3D%202t-2%3D0" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=t%3D1" />
de esta forma, el punto C que buscamos en la recta es C = (1, - 2, 0).
B) como determinamos anteriormente, el punto D tambien debera tener la forma (t, - 2t, 0).
No nos queda mas que calcular el area y despejar el valor de t.
Los vectores que forman el triangulo son : AB = (2, 0, 2) y AD = (t, - 2t - 1, - 1)
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%201%2F2%7CAB" /> ∧ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=AD%7C%20%3D%201%2F2%20modulo%20%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Di%26j%26k%5C%5C2%260%262%5C%5Ct%26-2t-1%26-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%2F2modulo%20%5B%282%2B4t%29i%20%2B%282%2B2t%29j-%282%2B4t%29k%5D" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%2F2%20%5Csqrt%7B%282%2B4t%29%5E2%20%2B%20%282%2B2t%29%5E2%20-%20%282%2B4t%29%5E2%7D%20%3D%201%2F2%20%5Csqrt%7B36t%5E2%2B40t%2B12%7D" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B2%7D" />
⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=9t%5E2%2B10t%2B1%3D0" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=t%3D-1%3Bt%3D-1%2F9" />
asi, el punto puede ser de D = ( - 1, 2, 0) o D = ( - 1 / 9, 2 / 9, 0).