Ejercicio 4. - Considera las rectas r y s dadas por r ≡ x = 1 + 2λ y = 1 − λ z = 1 y s ≡ x + 2y = −1 z = −1 a) [1’5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuaci´on del plano que las contiene. B) [1 punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado est´an en las rectas r y s, calcula su ´area. Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015 - 2016, Matematicas II.
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En resumen
A) Comprueba que ambas rectas son coplanarias y haya la ecuación del plano que las contiene. Se determinan en primer lugar los vectores directores de las rectas r y s. Para la recta r, su director son los coeficientes que acompañan a la variable λ.
A)
Comprueba que ambas rectas son coplanarias y
haya la ecuación del plano que las contiene.
Se determinan en primer lugar los vectores directores de las
rectas r y s.
Para la recta r, su director son los coeficientes que
acompañan a la variable λ.
Vdr = (2, - 1, 0)
A (1, 1, 1)
Para la recta s, su director se consigue dando un valor λ a
las variables X o Y.
Si X = λ.
X = λ
Y = ( - λ – 1) / 2
Z = - 1
Vds = (1, - 1 / 2, 0)
B (0, - 1 / 2, - 1)
Se verifica la colinealidad entre los directores de las
rectas :
Vdr = β * Vds
(2, - 1, 0) = β * (1, - 1 / 2, 0)
β = 2
Se comprueba que las rectas son proporcionales y por lo tanto
coplanarias.
Ahora se determina un plano que contenga al vector director
de r y s además de sus respectivos puntos.
Se determina el vector AB formado por los puntos de la recta
y se aplica el producto vectorial con el director de cualquiera de las rectas.
AB = (0, - 1 / 2, - 1) – (1, 1, 1) = ( - 1, - 3 / 2, - 2)
Vdr x AB = (2, - 1, 0) x ( - 1, - 3 / 2, - 2)
Vdr x AB = (2, 4, - 4)
El producto vectorial es la normal del plano buscado.
Π : 2X + 4Y – 4Z + D = 0
Si se sustituye el punto A se encuentra el valor de D.
2(1) + 4(1) – 4(1) + D = 0
D = - 2
Finalmente la ecuación del plano es :
π : 2X + 4Y – 4Z – 2 = 0
b)
Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado
están en las rectas r y s, calcula su área.
Primero se calcula la distancia desde la recta s hasta el
punto A, para ello es necesario determina un plano perpendicular a la recta s y
que incluya al punto A.
Π2 : X – Y / 2 + D = 0
Se sustituye el punto A.
1 – 1 / 2 + D = 0
D = - 1 / 2
π2 : X – Y / 2 – 1 / 2 = 0
Se intercepta el plano encontrado con la recta s.
X – Y / 2 – 1 / 2 = 0
X + 2Y + 1 = 0
Z = - 1
Solución :
Z = - 1
Y = - 3 / 5
X = 1 / 5
El punto de intercepción es :
M (1 / 5, - 3 / 5, - 1)
Se determina el vector MA :
MA = (1, 1, 1) – (1 / 5, - 3 / 5, - 1) = (4 / 5, 8 / 5, 2)
La distancia de este vector es :
D = √(4 / 5) ^ 2 + (8 / 5) ^ 2 + (2) ^ 2 = 6√5 / 5
Se eleva al cuadrado la distancia para determinar el área.
A = D ^ 2 = (6√5 / 5) ^ 2 = 36 / 5 u ^ 2
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO
2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
A) Comprueba que ambas rectas son coplanarias y haya la ecuación del plano que las contiene. Se determinan en primer lugar los vectores directores de las rectas r y s.
A) La ecuación del plano π que pasa por el punto P (2, 0, 1) y es perpendicular a la recta r = {x + 2y = 0 ; z = 0}. Se transforma la recta en su forma paramétrica con Y = λ. X = - 2λ Y = λ Z = 0 El vector director es :…
A) Discutirlo según los valores del parámetro λ. La matriz formada por el sistema de ecuaciones es : ( 2 λ λ ) A = ( 1 1 λ - 1) (λ - 1 1 1 ) ( 2 λ λ 1 - λ) A * = ( 1 1 λ - 1 - 2λ) (λ - 1 1 1 λ - 1) Ahora se evalúa…
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Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 3 2014 - 2015, MATEMATICAS II a) Como suponemos que la recta es perpendicular al plano, el vector dirección y el vector normal de dicha recta deben ser paralelos,…