Ejercicio 4. - Considera los puntos B(1, 2, −3), C(9, −1, 2), D(5, 0, −1) y la recta r ≡ x + y + 1 = 0 y − z = 0 a) [1’25 puntos] Calcula el ́area del tri ́angulo cuyos v ́ertices son B, C y D. B) [1’25 puntos] Halla un punto A en la recta r de forma que el tri ́angulo ABC sea rect ́angulo en A. Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
En resumen
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II. A) Para resolver el área del triángulo debemos calcular los vectores dados por la distancia entre los vértices, los cuales son : BC = (8, 3, 5) ; BD = (4, 2, 2).
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía,
Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
A) Para
resolver el área del triángulo debemos calcular los vectores dados por la
distancia entre los vértices, los cuales son : BC = (8, 3, 5) ; BD = (4, 2, 2).
La formula del área del triangulo es la
siguiente : S = 1 / 2 |
BC x BD
|
Calculamos el módulo del vector BC
x BD <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Di%26j%26k%5C%5C8%26-3%265%5C%5C4%26-2%262%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=4i%20%2B%204j%20-%204k%20%3D%20%20%5Csqrt4%5E2%2B4%5E2%2B%204%5E2%7D%20%20%3D%20%20%20%5Csqrt%7B12%7D%20%3D%206.9282" />
sustituyendo los valores en la formula del área tenemos que el área del triangulo es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%20%3D%206.9282%2F2%20%3D%203%2C96%20u%5E2" />
b) llevamos
la ecuación de la recta a su forma paramétrica
x = - 1 – t
y = t
z = t
por
lo tanto, cualquier punto A de la recta r tendrá las siguientes coordenadas A = ( - 1 - t, t, t).
Suponiendo
que el ángulo recto está en A, entonces los vectores AB y AC serán
perpendiculares con el producto escalar igual a 0.
AB = (2 + t, 2 - t, - 3 - t)
AC = (10 + t, - 1 - t, 2 - t)
Resolviendo
el producto escalar AB.
AC = 0, tenemos :
(2 + t, 2 - t, - 3 - t).
(10 + t, - 1 - t, 2 - t) = 0
⇒3t2 + 12t + 12 = 0
⇒t = - 2
De esta forma, A = (1, - 2, - 2) es el punto solicitado.
C) Determina las coordenadas del punto D. Con el punto A y el vector director de r se crea un plano perpendicular a r y que contenga a los puntos A y D. Π : x + y + z + Q = 0 Se sustituyen las coordenadas de A (1, 1,…
A) Halla unas ecuaciones paramétricas de r. El vector director de la recta que pasa por CD es el mismo que el de la recta que pasa por AB, por lo tanto el vector AB es : AB = B – A = (2, 2, 1) – (1, 1, 0) = (1, 1, 1) Ya…