A) Calcular los valores de m
para los que los tres planos se cortan en una recta.
Para encontrar la recta en
donde se cortan los tres planos hay que aplicar un producto vectorial para
determinar su vector directriz : | i j
k |
V = | 0 m - 6 | | 1 1 –m |
V = (i) [(m)( - m) – ( - 6)(1)] – (j) [(0)( - m) – (1)( - 6)] + (k) [(0)(1) – (1)(m)] = ( - m ^ 2 + 6, - 6, - m)
El vector debe estar
contenido en el plano faltante, por lo que se sustituyen sus componentes : - m ^ 2 + 6 – ( - m) = 0 - m ^ 2 + m + 6 = 0
m1 = 3
m2 = - 2
b) Para m = 3, hallar la
ecuación del plano que contiene al punto P y es perpendicular a la recta de
intersección de los planos π1 y π2.
Para m = 3 los planos son :
π1 ≡ x − z = 0, π2 ≡ 3y − 6z = 0, π3 ≡ x + y − 3z = 0
Se determina la recta
formada por el plano 1 y 2 : | i j
k |
D = | 1 0 - 1
| | 0
3 - 6 |
D = (i) [(0)( - 6) – ( - 1)(3)] – (j) [(1)( - 6) – (0)( - 1)] + (k) [(1)(3) – (0)(0)] = (3, 6, 3)
Como el plano deseado es perpendicular a D, se
deduce que D es su normal como P esta contenido, se tiene que el plano es :
π : 3( - 1) + 6( - 1) + 3(1) + K = 0 = > K = 6
π : 3x + 6y + 3z + 6 = 0
c) Hallar la distancia entre
los puntos Q y P', siendo P' el punto simétrico de P respecto al plano
π1.
Se determina la distancia
entre P y π1.
D = |(1)( - 1) – (1)(1)| /
√1 ^ 2 + ( - 1) ^ 2 = √2
Se determina el vector
unitario de la normal del plano 1 :
U = (√2 / 2, 0, - √2 / 2)
Si se duplica la distancia
entre el punto y el plano, y además se multiplica por el vector unitario se
tiene el vector PP’ :
2√2 * (√2 / 2, 0, - √2 / 2) =
(Px, Py, Pz) - ( - 1, - 1, 1)
(Px, Py, Pz) = ( - 1, - 1, 1) +
(2, 0, - 2) = (1, - 1, - 1)
P’ = ( - 3, - 1, 3)
La distancia entre Q y P’
es :
|QP’| = √(1 + 1) ^ 2 + ( - 1) ^ 2 +
( - 1 + 2) ^ 2 = √6
La distancia entre Q y P' es de√6 unidades.
Prueba selectividad para la comunidad de Madrid.
Convocatoria Jun 2014 - 2015.
Matemáticas II.