Ejercicio 2 . Calificación máxima : 3 puntos. Dados el plano π ≡ 2x − y = 2, y la recta r ≡ { x = 1 , y − 2z = 2 , se pide : a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de r y π. B) (1 punto) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a π. C) (1 punto) Determinar la recta que pasa por A(−2, 1, 0), corta a r, y es paralela a π. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013 - 2014 MATEMATICAS II.
En resumen
A) Estudiar la posición relativa de r y π. Si se desea estudiar la posición relativa entre la recta y el plano se debe aplicar la siguiente ecuación : Posición relativa = N o U Dónde : N es el vector director de la recta. U es la normal del plano.
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A) Estudiar la posición
relativa de r y π.
Si se desea estudiar la
posición relativa entre la recta y el plano se debe aplicar la siguiente
ecuación :
Posición relativa = N o U
Dónde :
N es el vector director de
la recta.
U es la normal del plano.
El vector director de la
recta es :
X = 1, Y = 2 + 2α, Z = α
N = (0, 2, 1)
La normal del plano es el
coeficiente que acompaña a cada variable.
U = (2, - 1, 0)
Ahora se aplica la ecuación
de la posición relativa.
Posición relativa = (0, 2,
1) o (2, - 1, 0) = 0 – 2 + 0 = - 2
Como el resultado es
distinto de cero, la recta corta al plano.
B) Determinar el plano que
contiene a r y es perpendicular a π.
Hay que determinar un punto
que pertenezca a la recta ya que también pertenece al plano buscado.
X = 1, Y = 2 + 2α, Z = α
Los términos independientes
representan los valores de un punto de la recta.
Q (1, 2, 0)
Ahora se aplica un producto
mixto entre Q, N y U.
( x - 1
y - 2 z)
π2 : ( 0 2
1) = (x - 1)(1) – (y - 2)( - 2) + (z)( - 4) = x + 2y – 4z – 5 = 0 ( 2 - 1 0)
π2 : x + 2y – 4z – 5 = 0
c) Determinar la recta que
pasa por A (−2, 1, 0), corta a r, y es paralela a π.
Se debe calcular un punto P
que al formar el vector AP sea perpendicular a U.
AP o U = 0
Si se desea encontrar al P
se debe tener en cuenta que P pertenece a r, por lo tanto las coordenadas de
dicho punto satisfacen la ecuación de la recta.
R : X = 1, Y = 2 + 2α, Z = α
P (1, 2 + 2α, α)
AP = P – A = (1, 2 + 2α, α)
– (−2, 1, 0) = (3, 1 + 2α, α)
Aplicando el producto
escalar :
(3, 1 + 2α, α) o (2, - 1, 0) = 6 – 1 - 2α = > α = 5 / 2
Por lo tanto AP es :
AP = (3, 6, 5 / 2)
Por lo tanto la recta es :
S : (x + 2) / 3 = (y – 1) / 6 =
2z / 5
PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID
CONVOCATORIA JUN 2013 - 2014 MATEMATICAS II.