Esta es la respuesta para el ejercicio 2 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid.
Convocatoria Jun 2013 - 2014.
Matemáticas II :
Nos dan la siguiente
función f(x) :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B5senx%7D%7B2x%7D%20" /> + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20" /> x < 0 <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a" /> x = 0 <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%20e%5E%7Bx%7D%20%2B%203%20" /> x
> 0
a) Analizamos si existe un valor de a que haga
que la función f(x) sea continua, para esto analizamos los limites en los
posibles puntos de discontinuidad, que en nuestro caso sería x = 0.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%20%5Cfrac%7B5senx%7D%7B2x%7D%20%2B%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%20%5Cfrac%7B10senx%20%2B%202x%7D%7B4x%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D" /> forma indeterminada
Usando la regla de L'Hopital :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%20%5Cfrac%7B10senx%20%2B%202x%7D%7B4x%7D%20%3D%0A%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%20%5Cfrac%7B10cosx%20%2B%202%7D%7B4%7D%20%3D%203" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B%2B%7D%7D%20x%20e%5E%7Bx%7D%20%2B%203%20%3D%203" />
∴ Como el limite existe, la función f(x) es continua
b) Si f(x) es derivable en x = 0 entonces solo
lo sería para a = 3 mientras que para cualquier otro valor de x la función
sería discontinua y en consecuencia no derivable.
Para que una función sea derivable en un punto
debe serlo tanto por la derecha como por la izquierda de la función (f'(0⁻) = f'(0⁺)) :
f'(0⁻) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%20%5Cfrac%7Bf%280%2Bh%29%20-%20f%280%29%7D%7Bh%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B5sen%280%2Bh%29%7D%7B2%280%2Bh%29%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20-%203%7D%7Bh%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%0A%5Cfrac%7B5sen%28h%29%20-%205h%7D%7B2h%5E%7B2%7D%7D%20" />
f'(0⁻) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0A%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%20%5Cfrac%7B5cos%28h%29-5%7D%7B4h%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%20%5Cfrac%7B5cos%28h%29%7D%7B4%7D%0A%3D%200" />
f'(0⁺) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B%2B%7D%7D%20%5Cfrac%7Bf%280%2Bh%29%20-%20f%280%29%7D%7Bh%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%0A%5Cfrac%7B%280%2Bh%29%20e%5E%7B0%2Bh%7D%20%2B3%20-3%29%7D%7Bh%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%7D%20%5Cfrac%7Bh%20e%5E%7Bh%7D%7D%7By%7D%20%3D%201%0A" />
f'(0⁻)≠ f'(0⁺) ⇒∴ la función no es derivable en el punto x = 0
c) Calculamos la siguiente integral definida (a = ln 5 = 1, 6094379), usando la
integración por partes :
[img = 10]
Evaluamos en los limites de integración :
[tex] \ int \ limits ^ a_1 {x e ^ {x} + 3} \ , dx =
8(ln5 - 1) = 4, 88.