Ejercicio 2 . Calificación máxima : 3 puntos. Dadas la matrices : A = 1 1 a a a 1 1 a a a 1 1 a a a 1 X = x y z w O = 0 0 0 0 se pide : a) (1, 5 puntos) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a. B) (0, 5 puntos) Resolver el sistema homogéneo AX = O en el caso a = 1. C) (1 punto) Resolver el sistema homogéneo AX = O cuando a = −1. Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012 - 2013. Matemáticas II.
En resumen
A) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a.
A) Calcular el determinante
de A.
Determinar el rango de A según los valores de a.
Para calcular el Det(A) se
deben aplicar los siguientes artificios : |1 1
a a| |1 1 a
a |
Det(A) = |a 1 1 a| - > F2 = F2 – a * F1 = |0 1 - a 1 - a ^ 2
a - a ^ 2| |a a 1
1| F3 = F3 – a * F1 |0
0 1 - a ^ 2 1 - a ^ 2| |a a a
1| F4 = F4 – a * F1 |0
0 a - a ^ 2 1 - a ^ 2|
Con esto Det(A) queda : (1 - a 1 - a ^ 2
a - a ^ 2)
Det(A) = (1)(1) ^ 2 * (0 1 - a ^ 2
1 - a ^ 2) (0 a - a ^ 2
1 - a ^ 2)
Det(A) = (1 + a) * (1 – a) ^ 3
Para los rangos se tiene
que :
Si a ≠ ±1 = > |A| ≠ 0
(rango A = 4)
Si a = 1 = > |A| = 0 (rango A = 1)
Si a = - 1 = > |A| = 0
(rango A = 3)
b) Resolver el sistema
homogéneo AX = O en el caso a = 1.
Si a = 1, la matriz A queda : (1
1 1 1)
A = (1 1 1 1) (1
1 1 1) (1
1 1 1)
De esta forma la ecuación
queda :
(1 1
1 1) (x)
(0)
(1 1 1 1) * (y) = (0)
(1 1 1
1) (z) (0)
(1 1 1
1) (w)
(0)
Llevando a cabo la
multiplicación de matrices se tiene que el sistema de ecuaciones es :
x + y + z + w = 0
x + y + z + w = 0
x + y + z + w = 0
x + y + z + w = 0
Este sistema de ecuaciones
se puede simplificar en uno solo el cual es :
x + y + z + w = 0
Como el sistema es de una
ecuación con cuatro incógnitas, se deben dar valores al azar para tres
variables y despejar la faltante, por ejemplo :
Si y = C, z = T y w = M
x = - C – T - M
c) Resolver el sistema
homogéneo AX = O cuando a = −1.
Si a = - 1, la matriz A
queda : (1
1 - 1 - 1)
A = ( - 1 1 1 - 1) ( - 1 - 1 1 1) ( - 1 - 1 - 1 1)
De esta forma la ecuación
queda :
(1 1 - 1 - 1) (x)
(0)
( - 1 1 1 - 1) * (y) = (0)
( - 1 - 1 1
1) (z) (0)
( - 1 - 1 - 1
1) (w)
(0)
Llevando a cabo la
multiplicación de matrices se tiene que el sistema de ecuaciones es :
x + y – z – w = 0 - x + y + z – w = 0 - x – y + z + w = 0 - x – y – z + w = 0
La primera y la tercera
ecuación son iguales por lo tanto el sistema se reduce a : - x + y + z – w = 0 - x – y + z + w = 0 - x – y – z + w = 0
Como es un sistema de 3
ecuaciones con una incógnita, se debe suponer el valor de una variable y despejar
las demás, por ejemplo :
w = T - x + y + z – T = 0 - x – y + z + T = 0 - x – y – z + T = 0
Resolviendo el sistema de
ecuaciones se tiene que :
x = T
y = 0
z = 0
w = T
Prueba de selectividad para
la comunidad de Madrid.
Convocatoria Jun 2012 - 2013.
Matemáticas II.
A) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa. Para que la matriz A tenga inversa se debe cumplir que Det(A) ≠ 0. ( - 1 - 1 a) Det(A) = ( - 3 2 a) = ( - 1)( - 2 - a ^ 2) – ( - 1)(3) + (a)( - 3a) ≠…
A) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa. Para que la matriz A tenga inversa se debe cumplir que Det(A) ≠ 0. ( - 1 - 1 a) Det(A) = ( - 3 2 a) = ( - 1)( - 2 - a ^ 2) – ( - 1)(3) + (a)( - 3a) ≠…