Vertice sobre 3x - 2y - 19 = 0 ; foco sobre x + 4y = 0 ; directriz x = 0?

Veamos

Las coordenadas de vértice son V(h, k)

El vértice es el punto medio entre la recta directriz y el foco.

Dado que la directriz es x = 0 (eje y) las coordenadas del foco son F(2 h, k)

Reemplazamos estas coordenadas en las rectas que los contienen :

3 h - 2 k - 19 = 0

2 h + 4 k = 0

Multiplicamos la primera por 2 :

6 h - 4 k - 38 = 0 ; la sumamos con la segunda :

8 h - 38 = 0 ; de modo que h = 19 / 4 ; luego k = - 19 / 8

Nos queda V(19 / 4, - 19 / 8 ; F(19 / 2, - 19 / 8)

La forma ordinaria de la ecuación es :

(y - k)² = 2 p (x - h), siendo p / 2 la distancia entre el foco y el vértice

p / 2 = 19 / 4 ; 2 p = 19

La ecuación es (y + 19 / 8)² = 19 (x - 19 / 4)

Adjunto gráfico con las respuestas.

Saludos Herminio.