Utiliza el metodo de reduccion al absurdo para demostrar que√3 y √5son numeros irracionales?

Probemos algo más fuerte : la raíz cuadrada de todo primo p es irracional.

Supongamos que sqrt(p) es racional luego sqrt(p) = a / b con a y b enteros, b - entero no nulo.

Además podemos suponer que (a, b) = 1.

Elevando al cuadrado ambos lados :

p = a ^ 2 / b ^ 2

Luego a ^ 2 = pb ^ 2.

De forma que p divide a a ^ 2.

Pero p es primo luego p divide a a, de forma que a = pk para algun entero k.

Sustituyendo a = pk se tiene :

(pk) ^ 2 = pb ^ 2

p ^ 2 k ^ 2 = pb ^ 2

pk ^ 2 = b ^ 2

Luego p divide a b ^ 2 y como p es primo entonces p divide a b.

Pero entonces a y b tienen como factor común a p, una contradicción pues supusimos que (a, b) = 1.

Asi si p es primo entonces raiz(p) es irracional.

En particular para p = 2, 3, 5, 7, .

Se tiene raiz(2), raiz(3), raiz(5), raiz(7) y así sucesivamente son todos irracionales.