Demostrar que la suma de dos números racionales es un irracional?

Demostrar que la suma de dos números racionales es un irracional : La suma de dos números racionales es racional.

Veámoslo : se define al conjunto Q de los racionales como Q = { a / b, con a, b € Z y b>0}.

Nota : con "€" denoto perenece y con "Z" al conjunto de los enteros.

La suma de dos números racionales, sean a / b y c / d, se define como :

a / b + c / d = (ad + bc) / bd

Entonces, para demostrar que la suma pertenece a los racionales,

tenemos que ver que :

a) ad + bc pertenece a los enteros

b) bd pertenece a los enteros y es mayor que 0

Demostremos :

a) ad € Z, pues a, b € Z y el conjunto de los enteros es cerrado para el producto.

Bc € Z por la misma razón.

Y ad + bc € Z porque el conjunto de los enteros es cerrado para la suma.

B) bd € Z porque b, d € Z y el conjunto de los enteros es cerrado para el producto.

Y finalmente, bd>0 porque b>0 y d>0 (ver definición del conjunto Q de los racionales).

Suerte!