Demostrar que la suma de dos números racionales es un irracional?
Demostrar que la suma de dos números racionales es un irracional.
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 4 votos · mejor respuesta de Njdnauleykithacca
En resumen
Demostrar que la suma de dos números racionales es un irracional : La suma de dos números racionales es racional. Veámoslo : se define al conjunto Q de los racionales como Q = { a / b, con a, b € Z y b>0}. Nota : con "€" denoto perenece y con "Z" al conjunto de los enteros.
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Mejor respuesta
Demostrar que la suma de dos números racionales es un irracional : La suma de dos números racionales es racional.
Veámoslo : se define al conjunto Q de los racionales como Q = { a / b, con a, b € Z y b>0}.
Nota : con "€" denoto perenece y con "Z" al conjunto de los enteros.
La suma de dos números racionales, sean a / b y c / d, se define como :
a / b + c / d = (ad + bc) / bd
Entonces, para demostrar que la suma pertenece a los racionales,
tenemos que ver que :
a) ad + bc pertenece a los enteros
b) bd pertenece a los enteros y es mayor que 0
Demostremos :
a) ad € Z, pues a, b € Z y el conjunto de los enteros es cerrado para el producto.
Bc € Z por la misma razón.
Y ad + bc € Z porque el conjunto de los enteros es cerrado para la suma.
B) bd € Z porque b, d € Z y el conjunto de los enteros es cerrado para el producto.
Y finalmente, bd>0 porque b>0 y d>0 (ver definición del conjunto Q de los racionales).
Suerte!
Preguntas frecuentes
Demostrar que la suma de dos números racionales es un irracional?
Demostrar que la suma de dos números racionales es un irracional : La suma de dos números racionales es racional.
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