Una ventana tiene forma de rectángulo coronado en la parte superior por un triangulo equilatero?

La figura está anexada

Area del triángulo = ( x * h ) / 2

Área del rectángulo = x * y

Área total = ( x * y ) + ( x * h ) / 2

Perímetro de la ventana ⇒3x + 2y = 6

Despejando y :

y = ( 6 - 3x ) / 2

Sustituyendo en la ecuación de área total :

Atotal = [ x * ( 6 - 3x ) / 2 ] + ( x * h ) / 2

La ecuación está en función de h, x

Utilizando el triángulo rectángulo que se forma de la partición por la mitad del triángulo equilátero :

x ^ 2 = h ^ 2 + ( x / 2 ) ^ 2

Despejando h :

h = √ [ x ^ 2 - ( x / 2 ) ^ 2 ]

h = √ ( 4x ^ 2 - x ^ 2 ) / 4

h = (1 / 2)√3x ^ 2

h = ( x / 2 ) * √3

Sustituyendo en la ecuación de área total :

Atotal = [ ( 6x - 3x ^ 2 ) / 2 ] + ( x ^ 2 / 4) * ( √3 )

Atotal = 3x - ( 3x ^ 2 / 2 ) + (√3 / 4 ) * ( x ^ 2 )

Aplicando el Teorema de la Primera Derivada

Atotal' = 3 - 3x + ( x * √3 / 2 )

3 - 3x + x * (√3 / 2 ) = 0

x [ (√3 / 2) - 3 ] = - 3

x = - 3 / [ (√3 / 2 ) - 3 ] ; pto crítico

Para corroborar si el valor de x es un máximo, utilizamos el criterio de la 2da Derivada

Atotal'' = - 3 + √3 / 2

√3 / 2 - 3 < 0

√3 / 2 < 3 ; Si cumple la desigualdad

Por lo tanto :

xmax = - 3 / [ (√3 / 2 ) - 3 ]⇒ Longitud de la base del rectángulo.