Una ONG ha construido un pozo para abastecer de agua potable a una poblacion campesina ?

Una ONG ha construido un pozo para abastecer de agua potable a una población campesina.

La inversión de la construcción fue 2190 ¿Qué profundidad tiene el pozo si se sabe que el primer metro costó 15 soles y cada metro restante costó 4 soles más que el anterior?

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Está claro que hay que resolverlo como una progresión aritmética (PA) donde cada término es el precio de cada metro incrementado en 4 soles sobre el metro anterior.

Se deducen los datos de la PA :

Primer término de la PA .

A₁ = 15

Diferencia entre términos consecutivos.

D = 4

Número de términos (metros del pozo).

N = ?

Valor del último término .

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Suma de todos los términos .

Sn = 2190

Con eso planteo la primera ecuación basada en el término general de las progresiones aritméticas :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2B%28n-1%29%2Ad%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3D15%2B%28n-1%29%2A4%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3D11%2B4n" />

Reservo ese resultado y acudo a la fórmula de suma de términosy sustituyo valores conocidos, incluido el que acabo de escribir ahí :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cdfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%202190%3D%5Cdfrac%7B%2815%2B11%2B4n%29%2An%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%204380%3D26n%2B4n%5E2%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%204n%5E2%2B26n-4380%3D0%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20simplificando...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%202n%5E2%2B13n-2190%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n_1%3D%20%5Cdfrac%7B-13%2B133%7D%7B4%7D%20%3D30%5C%20t%5C%27erminos%3D30%5C%20metros" />

La segunda solución de la ecuación (n₂) se desecha por salir negativa y no tener sentido en el ejercicio.

Saludos.