Una bala se dispara desde el piso formando una trayectoria tipo parábola, donde su ecuación es : y = - x2 + 10x – 20. En qué punto, la bala, alcanzó su altura máxima? Determina los puntos desde donde fue lanzada la bala, así como el punto en donde cayó. Reflexiona y describe un ejemplo de la aplicación de este tipo de funciones en la vida cotidiana.
ax² + bx + c = 0
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 9 votos · mejor respuesta de Barras
En resumen
Para saber cuál es el punto más alto que alcanzo la bala nos conviene mucho llevar esa ecuación a la forma de la ecuación fundamental de la parábola, es la siguiente. <img src="https://tex.z-dn.net/?
Para saber cuál es el punto más alto que alcanzo la bala nos conviene mucho llevar esa ecuación a la forma de la ecuación fundamental de la parábola, es la siguiente.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20-%20k%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4p%7D%20%28x-h%29%5E2" />
Centro : (h, k)
No te preocupes si no conoces esa ecuación, esa es la ecuación que usamos en la universidad, lo único nuevo que tiene de nuevo esa ecuación es "p", y "p" es la distancia del vértice al foco, pero no necesitaremos el foco para nada, solamente queremos conocer el vértice.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20-x%5E2%2B10x-20" />
Simplemente voy a pasar el 20 al otro lado, y sacaré factor común - 1.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%2B%2020%20%3D%20-1%28x%5E2-10x%29" />
Ahora hagamos completación de trinomio cuadrado perfecto, recuerda que debemos agregar un número para completar el TCP, y ese número lo debemos agregar también al otro lado para no alterar la ecuación.
Si no sabes como hacer esto revisa vídeos, no es nada complicado.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%2B20%20%3D%20-1%28x%5E2-10x%2B25%29" />
Ahora como agregué el 25, pero ese 25 está multiplicado por el - 1, en realidad estoy restando, por lo tanto también debo restar 25 al otro lado de la ecuación.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%2B20-25%20%3D%20-1%28x%5E2-10x%2B25%29" />
Y ahora, como es trinomio cuadrado perfecto, lo puedo llevar a un binomio al cuadrado.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-5%3D-1%28x-5%29%5E2" />
Terminamos, es la misma ecuación que teníamos al principio pero de diferente forma, nos conviene más trabajar la ecuación así ya que de esta forma podemos ver el vértice.
La parábola tiene vértice en (5, 5), simplemente para ver el vértice tienes que sacar los números que acompañan al X y al Y pero con signo contrario.
La altura máxima que alcanza la bala es la distancia del eje X a la bala, es decir la coordenada K, entonces la altura máxima es de 5 unidades.
Ahora para saber desde dónde fue lanzada la bala y hasta dónde llegó, podemos seguir usando esa misma ecuación, simplemente tenemos que hacer Y = 0, y despejar X.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-5%3D-1%28x-5%29%5E2" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0-5%3D-1%28x-5%29%5E2" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-5%3D-1%28x-5%29%5E2" />
Volvamos a solucionar el binomio.
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Nos conviene multiplicar ambos lados de la ecuación por - 1.
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Ahora solucionemos esa ecuación cuadrática, yo lo haré acá con fórmula general, no te puedo hacer el procedimiento porque ya me demoro mucho, solamente te daré las respuestas.
[img = 14] Acá es donde la bala fue lanzada.
[img = 15] Acá es donde la bala llegó.
Fue un placer, saludos.
Para saber cuál es el punto más alto que alcanzo la bala nos conviene mucho llevar esa ecuación a la forma de la ecuación fundamental de la parábola, es la siguiente. <img src="https://tex.z-dn.net/?
La Filosofía es el amor por la sabiduría, tal y como la entendían los antiguos griegos, que se preguntaban acerca de materias tan fundamentales como la existencia, el conocimiento, la verdad, o la moral. Cuestiones…
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Determinamos el vértice de la parábola : h = - b / 2a = - (5) / (2)( - 1) = 5 / 2 k = - (5 / 2) ^ 2 + 5(5 / 2) - 4 = - 25 / 4 + 25 / 2 - 4 = 9 / 4 El vértice es : (5 / 2, 9 / 4), es decir, la altura máxima fue de 9 / 4…
Conocer la altura máxima equivale a calcular el vértice de la parábola. La coordenada x del vértice de una parábola dada en su forma general es : en nuestro caso a = - 1 y b = 10. Por lo que la coordenada x del vértice…
La ecuación de la parábola es : y(x) = - x ^ 2 + 13x - 30 Si queremos conocer dónde es su altura máxima, sabemos que : m = 0⇒ la pendiente es igual a cero Para obtener la pendiente⇒ dy / dx = 0 Derivando la función e…