Una ama de casa separa a fin de mes $300 de ingreso, cada mes ahorra 50 adicionales al período anterior ¿cuando será mayores de 31000 $ sus ahorros?

Hay que resolverlo por progresiones aritméticas (PA).

De los datos del ejercicio podemos deducir lo siguiente :

Primer término de la PA (lo que ahorra el primer mes) : a₁ = 300

Diferencia entre términos consecutivos (lo que va añadiendo cada mes a lo ahorrado el mes anterior : d = 50

Suma de términos de la PA : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D31000" />

Y nos pide el tiempo que tardará en superar esa cantidad, es decir, los meses que serán necesarios para ello que es el nº de términos de esta PA :

n = ?

Tampoco conocemos el valor del último término de la PA que será lo que ahorre el mes que llegue a esos 31000 :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D%3F" />

Para solucionarlo hemos de apoyarnos en las dos fórmulas más habituales de las PA que son :

Término general : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2B%28n-1%29%2Ad" /> .

Sustituyendo.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D300%2B%28n-1%29%2A50%20%5C%5C%20a_n%3D300%2B50n-50%20%5C%5C%20a_n%3D250%2B50n" />

Lo reservamos y usamos la otra fórmula : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20" /> .

Sustituyendo.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=31000%3D%20%5Cfrac%7B%28300%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2062000%3D%28300%2Ba_n%29%2An" />

Sustituyo<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n" /> por su valor de la primera fórmula y resuelvo.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=62000%3D%28300%2B250%2B50n%29%2An%20%5C%5C%2062000%3D550n%2B50n%5E2%20%5C%5C%20...simplifico%5C%20%5C%20dividiendo%5C%20%5C%20%20todo%5C%20por%5C%2050...%20%5C%5C%201240%3D11n%2Bn%5E2%20%5C%5C%20n%5E2%2B11n-1240%3D0" />

Al resolver esa ecuación cuadrática por fórmula general me sale la solución positiva con decimales :

El resultado que me sale es 30, 14 y eso representa los meses que tendría que estar ahorrando con ese sistema para llegar a los 31000 y es totalmente válida ya que la pregunta del ejercicio es : "cuándo habrá ahorrado MÁS de 31000" y, dando la respuesta en meses completos, el resultado será el número entero que sigue a 30, 14, es decir : 31meses es la respuesta.

Saludos.