Un número excede a su cuadrado mas cercano en 11 y es excedido por el cuadrado mas proximo en 14?

Sea "x" el número buscado, entonces :

a ^ 2< x< b ^ 2

Donde a ^ 2 es el cuadrado más cercano a "x" y b ^ 2 es el cuadrado más próximo a "x"

Por dato del problema tenemos que :

x - a ^ 2 = 11

x = a ^ 2 + 11.

(1)

Además :

b ^ 2 - x = 14

x = b ^ 2 - 14.

(2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2) :

a ^ 2 + 11 = b ^ 2 - 14

25 = b ^ 2 - a ^ 2

25 = (b + a)(b - a)

(25)(1) = (b + a)(b - a)

De donde :

b + a = 25.

(3)

b - a = 1.

(4)

Sumando (3) y (4) tenemos que :

2b = 26

b = 13

Reemplazando en el valor de "b" en la ecuación (4) :

b - a = 1

13 - a = 1

a = 12

Pero de la ecuación (1) sabemos que :

x = a ^ 2 + 11 = 12 ^ 2 + 11 = 155.