Un granjero tiene un corral en forma de hexágono regular, el cual está rodeado, el cual esta rodeado con malla de alambre, y va a transformarlo en un invernadero de tomates.
Desea que el invernadero tenga forma circular y quiere cerrarlo con la misma malla del corral.
Para saber la cantidad de semillas que debe comprar, el granjero tiene que conocer la proporción entre el área que tendrá el invernadero una vez que lo construya.
¿ Cuál es esta proporción?
Hexágono : Siendo a = lado
Perímetrodel Hexágono = 6a
Áreadel Hexágono = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B3%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20%20a%5E%7B2%7D%20" />
Circulo
Perímetro : 2πr
Áreadel Circulo : πr²
Como el perímetrode circulo y hexágonoson idénticos, igualamos :
6a = 2πr
r = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B3a%7D%7B%20%5Cpi%20%7D%20" />
Hallamos el área del circulo en función del nuevo radio
Área del circulo = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cpi%20.%20%28%20%5Cfrac%7B3a%7D%7B%20%5Cpi%20%7D%29%20%5E%7B2%7D%20" />
Área del circulo = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B9%20a%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Cpi%20%7D%20" />
Hallar la relación de áreas :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BAH%7D%7BAC%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B3%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20a%5E%7B2%7D%20%20%7D%7B%20%5Cfrac%7B9%7D%7B%20%5Cpi%20%7D%20a%5E%7B2%7D%20%20%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BAH%7D%7BAC%7D%3D%20%5Cfrac%7B3%20%5Csqrt%7B3%7D%20%2A%20%5Cpi%20%20%7D%7B2%20%20%2A%209%7D%20%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BAH%7D%7BAC%7D%3D%20%5Cfrac%7B3%20%5Csqrt%7B3%20%7D%2A%20%5Cpi%20%20%7D%7B2%20%2A%209%7D%2A%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%20%20%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BAH%7D%7BAC%7D%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20%7D%7B2%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%20%20" />
Respuesta
La proporción seria<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%20%5Cpi%20%3A%202%20%5Csqrt%7B3%7D%7D%7D" />.