Si el costo de mantención de una empresa se determina con la función f(x) = – x ^ 2 + 2x + 8, donde x es el número de artículos diarios producidos ¿Cuál será el número de artículos diarios que se deben producir para obtener el máximo costo de mantención?
En resumen
Primero asignemos variables : Independiente : articulos producidos diarios (x) Dependiente : costo de mantención (y) Bueno, la función - x ^ 2 + 2x + 8 corresponde a la ecuación de una parábola con foco en y positiva.
Primero asignemos variables : Independiente : articulos producidos diarios (x)
Dependiente : costo de mantención (y)
Bueno, la función - x ^ 2 + 2x + 8 corresponde a la ecuación de una parábola con foco en y positiva.
Ahora, bien, lo que nos pide es un máximo lo que en este caso correspondería al foco de la parabóla.
Por lo tanto, tendríamos que averiguar la coordenada x de éste.
Ahora, en este caso sacaré el foco (en este caso un máximo) usando las derivadas de la función :
Paso 1 : Derivar la función f(x)
Si f(x) = - x ^ 2 + 2x + 8 entonces f´(x) = - 2x + 2
Paso 2 : Igualamos a cero la derivada y sacamos raíces
Si f´(x) = - 2x + 2 = 0
Los valores que puede tener x para cumplir la igualdad se sacarían con despejes : - 2x = - 2
x = - 2 / - 2
x = 1 Aquí tenemos la raíz
Paso 3 : Comprobar que la raíz (x = 1) sea un máximo o un mínimo con ayuda de la segunda derivada.
F´(x) = - 2x + 2 entonces f"(x) = - 2
Nota : Observa que la segunda derivada nos da un solo valor y este es negativo, por lo tanto tenemos solamente un máximo.
Paso 4 : En tu caso, ya tenemos descubierta la coordenada x (x = 1) del punto máximo (qué es la respuesta a tu ejercicio) pero ya que estamossaquemos y : Sustituyamos la raíz obtenida anteriormente en la función original.
F(1) = - (1) ^ 2 + 2(1) + 8
f(1) = - 1 + 2 + 8 = 9
Por lo tanto, tu foco (en este caso punto máximo) se encuentra en las coordenadas (1, 9) Teniendo como respuesta a tu pregunta el valor 1.
Ya que cuando la variable indepediente es 1 la variable dependiente (y) tiene su máximo valor que es 9.
Puedes comprobar esto graficando tu función con geogebra.
Es todo saludos.
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