Sean u, v, wu, v, w vectores de R3R3 y dadas las siguientes expresiones II?

RESOLUCIÓN.

Para determinar la veracidad de los enunciados, se debe encontrar un caso en donde no se cumpla dicho enunciado y así poder desmentir la afirmación.

1) Si u * v = w * u, entonces v = w?

Como el campo de estudio son los vectores en R3, se hace uso de la definición del producto escalar para el estudio de esta primera afirmación :

U * V = W * U

(Ux, Uy, Uz) * (Vx, Vy, Vz) = (Wx, Wy, Wz) * (Ux, Uy, Uz)

(Ux * Vx) + (Uy * Vy) + (Uz * Vz) = (Ux * Wx) + (Uy * Wy) + (Uz * Wz)

|U| * |V| * Cos(α) = |U| * |W| * Cos(β)

En esta definición se tiene que el producto escalar entre U y V da como resultado que existe un ánguloα entre ambos vectores, y que no necesariamente el vector W es igual al vector V debido a que es posible que sea su simétrico con respecto al vector U.

Ejemplo :

U = (1, 0, 0)

V = (0, 1, 0)

W = (0, - 1, 0)

U * V = (1, 0, 0) * (0, 1, 0)

(1 * 0) + (0 * 1) + (0 * 0) = 0

Ahora se desarrolla el producto escalar de W * U

W * U = (0, - 1, 0) * (1, 0, 0)

(0 * 1) + ( - 1 * 0) + (0 * 0) = 0

Con lo cual se demuestra que es posible u * v = w * u con v≠ w, por lo tanto se concluye que la afirmación es falsa.

2) Sí u * v = 0, entonces u = 0 ó v = 0.

Esta afirmación se resuelve con la definición de un vector y con un producto escalar.

En la definición de un vector se tiene que un vector nulo es aquel cuyo módulo es cero (|U| = 0), y por lo tanto su representación es u = 0.

Con la definición del producto escalar expuesta anteriormente, es posible plantear el siguiente ejemplo :

Sea U = (1, 0, 0) y V = (0, 1, 0) se tiene que :

|U| = 1

|V| = 1

Por lo tanto ninguno de ellos es un vector nulo.

U * V = (1, 0, 0) * (0, 1, 0)

U * V = (1 * 0) + (0 * 1) + (0 * 0)

U * V = 0

Por lo tanto se demostró que con vectores U≠ 0 y V≠ 0 se puede conseguir que U * V = 0.

Finalmente se selecciona la opción A, en donde se dice que ambas afirmaciones son falsas.