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Sea f una función definida en los reales, con una antiderivada F, entonces su antiderivada general será G, tal que : G(x) = F(x) + C, para C = Constante, además f(x) = F ^ ' (x) = G'(x)?

Sea f una función definida en los reales, con una antiderivada F, entonces su antiderivada general será G, tal que : G(x) = F(x) + C, para C = Constante, además f(x) = F ^ ' (x) = G'(x). Cada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado. Primera parte (punto 1 al 4) Encuentre la antiderivada más general de las siguientes funciones, compruebe su respuesta mediante la derivación y Grafique en Geogebra la función y una de sus antiderivadas. 1. f(x) = - Cosc(x)Cot(x) + 3〖cosc〗 ^ 2 x + 3 / √(1 - x ^ 2 ).

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Para resolver este ejercicio procedemos a integrar la expresión : f(x) = - Cosc(x)Cot(x) + 3cosc²(x) + 3 / √(1 - x²)F(x) = ∫ - Cosc(x)Cot(x) + 3cosc²(x) + 3 / √(1 - x²) dx Procedemos a separar en tres integrales : F(x) = ∫ - Cosc(x)Cot(x) dx + ∫ 3cosc²(x) dx + ∫3 / √(1 - x²) dx Ahora procederemos a resolver cada integral por separado, tenemos : A = ∫ - Cosc(x)Cot(x) dx Aplicamos identidades, cosc(x) = 1 / sen(x) y cot(x) = cos(x) / sen(x)A = ∫ - cos(x) / sen²(x) dx Tenemos que d(senx) = cosx dx, entonces : A = ∫ - 1 / sen²x · d(senx) A = 1 / sen(x) + CDerivamos a A para ver si esta correcta : A' = (1 / sen(x))' A' = - Cos(x) / Sen²(x) → Es correcta Procedemos a calcular la segunda derivada.

B = ∫ 3cosc²(x) dx Integral inmediata.

Ver tabla adjunta.

B = - 3cosc²(x) + CFue sacada directo de tabla no es necesario verificar.

Última integral.

C = ∫3 / √(1 - x²) dx Otra integral inmediata.

Ver tabla adjunta.

C = - 3Arccos(x) + C Fue sacada directo de tabla no hace falta verificar.

Ahora F(x) será : F(x) = 1 / sen(x) - 3cosc²(x) - 3Arccos(x) + CDebido a que cada integral se verifico por separado entonces no hace falta verificar la suma.

La gráfica es demasiada complicada para realizarla.

Sin embargo haremos gráficas separadas.

Imagen adjunta 1Imagen adjunta 2Imagen adjunta 3Imagen adjunta 4