Se requiere construir un contenedor abierto (sin tapa) de base cuadrada determinar las dimensiones con las cuales el volumen sea de 50m ^ 2 y la cantidad de placa sea minima?

Las dimensiones de la caja deben ser : Una base cuadrada de lado ³√100 = 4.

6415 m y una altura de 50 / ³√10.

000 = 2.

3207 mSi observamos una la imagen podemos ver la situación planteada.

El area de la caja (no tiene tapa) es : el area de un paralelepípedo sin tapa de base cuadrada que es : A = x² + 4xhy el volumen es : x² * yLuego quiero minimizar la cantidad de placa : se quiere minimizar el area, sujetado a que el volumen sea 50 m²Minimizar x² + 4xyS.

A x² * y = 50 m³ ⇒ y = 50 / x²Sustituyo en la ecuación objetivo : A = x² + 4x * (50 / x²) = x² + 200 / xDerivamos para encontrar los puntos criticos : A' = 2x - 200 / x²Sumando las fraccionesA' = (2x³ - 200) / x²Igualamos a cero : 2x³ - 200 = 02x³ = 200x = 200 / 2 = 100x = ³√100 = 4.

6415 mLuego para comprar que es un mínimo calculamos la segunda derivada y evaluamos en el punto : A'' = ((2x³ - 200) / x²)' = (6x² * x² - 2x * (2x³ - 200)) / x⁴ = (6x⁴ - 4x⁴ + 400x) / x⁴ = (2x⁴ + 400x) / x⁴Como lo que nos importa es el signo y el denominador es positivo solo hay que ver el signo del numerador 2x⁴ + 400x = x(2x³ + 400) Evaluando en el punto : ³√100(2(³√100)³ + 400) = ³√100 * (2 * 100 + 400) = ³√100 * 600 > 0Por criterio de la segunda derivada es un mínimoSi x = ³√100 sustituyendo tenemos que : y = 50 / ( ³√100)² = 50 / ³√10.

000 = 2.

3207 m.