Antes de resolver el problema, debemos entender el proceso que se describe.
Primero, tenemos leche que contiene 3, 8% de materia grasa (que llamaremos MG) y 8, 1% de extracto magro (que llamaremos EM), el resto lo consideraremos acomo agua, es decir 88, 1% es agua.
Esta leche al pasar por una centrifuga y obtendremos 2 cosas : nata y la leche descremada.
La nata posee 40% de grasa, 5% de EM y 55% de agua.
Segundo, la leche descremada pasa por una evaporadora, la cual nos arrojara 2 cosas : vapor de agua y la leche concentrada.
La cantidad de vapor de agua es pura, es decir, 100% vapor de agua.
Y la leche concentrada posee 7% de MG, 18, 1% de EM y 74, 9% de agua.
Ahora, para resolver el problema, debemos realizar un balance general y para esto, le asignaremos una variable a cada una de las partes del proceso.
De manera que :
a = leche prima será ; x = nata ; b = leche parcialmente descremada ; y = vapor de agua ; z = leche concentrada.
Vemos que a y b son las materias primas y las variables x, y, z son los productos que se obtienen.
Entonces, %a = %x + %y + %z.
Esta será la ecuación del balance general y la aplicaremos a cada componente.
Para el balance de grasa : 0, 038 * a = 0, 4 * x + 0 * y + 0, 07 * z
Para el balance del extracto magro : 0, 081 * a = 0, 05 * x + o * y + 0, 181 * z
Para el balance de agua : 0, 881 * a = 0, 55 * x + 1 * y + 0, 749 * z
Como ya conocemos el valor de z = 1000 Kg (cantidad de leche que queremos), reemplazamos y modificamos las ecuaciones.
Balance de grasa : 0, 038 * a - 0, 4x = 70
Balance de EM : 0, 081 * a - 0, 005x = 181
Balance de agua : 0, 881 * a - 0, 55x - y = 749
Para resolver esto, realizamos el método de Gauss - Jordan :
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Multiplicaremos por factores las distintas filas, para sumar o restar entre ellas, hasta llegar a una solución para cada variable.
Entonces, a la fila 2 le restamos 2, 13 * Fila1.
De manera que quede : 0 ; 0, 808 ; 0 | 31, 9
A la fila 3 le restamos 23, 18 * fila 1.
De manera que queda : 0 ; 8, 7236 ; - 1 | 873, 6
Realizamos estas operaciones hasta que nos quede la solución :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%260%260%20%7C%202259%5C%5C0%261%260%20%7C%2039%2C6%5C%5C0%260%261%20%7C1219%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" />
Entonces, a = x + y + z nos quedaría de la forma : 2259 = 39, 6 + 1219 + 1000.
Para concluir : Necesitaríamos 2259Kg de leche prima, y obtendríamos 39, 6 Kg de nata, 1219 sería lacantidad de agua y 1000 Kg de leche concentrada.