Probar la veracidad de las siguientes ecuaciones?

Hola,

Para hacer esto necesitas saber algunas identidades :

tan x = sen x / cos x

cot x = 1 / tan x = cosx / senx

csc x = 1 / senx

Esta es importante , identidad fundamental :

sen²x + cos²x = 1

Sabiendo esto, veamos los ejercicios, voy a partir del lado de la izquierda de la igualdad :

cosx (cot x + tan x) = csc x

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20cosx%28%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bsenx%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7Bsenx%7D%7Bcosx%7D%29%20%3D%20cscx%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%20cosx%20%28%5Cfrac%7Bcos%5E%7B2%7Dx%20%2B%20sen%5E%7B2%7Dx%7D%7Bsenx%20%5Ccdot%20cosx%7D%29%20%3D%20cscx%20%20%20" />

Si te fijas, en el numerador está la identidad fundamental, por lo tanto el numerador equivale a 1 :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=cosx%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bsenx%20%5Ccdot%20cosx%7D%29%20%3D%20cscx%20%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsenx%7D%20%3D%20csc%20x%20%5C%5C%20%5C%5C%0Acsc%20x%20%3D%20csc%20x%20%20" />

Así llegamos a demostrar que se cumple la identidadcos x ( cot x + tan x ) = csc x.

B)Hacemos lo mismo, partimos del lado derecho, solo hay que saber como desarrollar un binomio al cuadrado :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Así, desarrollamos en el ejercicio ,

( sin x + cos)² + ( sinx - cos)² = 2

sin²x + 2sinxcosx + cos²x + sin²x - 2sinxcosx + cos²x = 2

Reducimos términos semejantes :

sin²x + cos²x + sin²x + cos²x = 2

Si te fijas en la identidad fundamental, esos valores son 1 :

1 + 1 = 2

2 = 2

Por lo tanto se cumple la igualdad( sin x + cos)² + ( sinx - cos)² = 2 .

Salu2 : ).