Los términos cuarto y noveno de una progresión geométrica son y 1 / 2 y 16 / 243 ?
Los términos cuarto y noveno de una progresión geométrica son y 1 / 2 y 16 / 243 . Determine el sexto término .
6Javico20037
En resumen
El sexto término es a₆ = 2 / 9 Nos dan como datos el cuarto y noveno término de la progresión, siendo éstos : a₄ = 1 / 2 a₉ = 16 / 243 Una progresión geométrica sigue la forma : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Mejor respuesta
Johnmichaelv11
SolucióN
El sexto término es a₆ = 2 / 9
Nos dan como datos el cuarto y noveno término de la progresión, siendo éstos :
a₄ = 1 / 2
a₉ = 16 / 243
Una progresión geométrica sigue la forma :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7Bn%7D%20%3Da_%7B1%7D%20%2Ar%20%5E%7Bn-1%7D%20" />
Siendo r la razón fija de la progresión
Debemos hallar r y a₁ para poder determinar los demás términos ; expresamos lo siguiente :
a₄ = a₃ × r
1 / 2 = a₃ × r
1 / 2 = (a₂× r) × r
1 / 2 = (a₁× r) × r²
1 / 2 = a₁ × r³, despejamos a₁
a₁ = 1 / 2r³
Igual hacemos para a₉ :
16 / 243 = a₁ × r⁸
a₁ = 16 / 243r⁸
Igualamos ambas expresiones :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2r%5E%7B3%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B16%7D%7B243r%5E%7B8%7D%20%7D%20" />
243r⁸ = 16 × 2r³
243r⁸ = 32r³
243r⁵ = 32
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3D%20%5Csqrt%5B5%5D%7B%20%5Cfrac%7B32%7D%7B243%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20" />
En base a ello hallamos a a₁ :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2A%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20r%5E%7B3%7D%20%7D%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2A%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%282%2F3%29%5E%7B3%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B27%7D%7B16%7D%20" />
Por Lo Que El Sexto TéRmino Será
a₆ = a₁ × r⁵
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7B6%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B27%7D%7B16%7D%20%2A%20%28%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%29%5E%7B5%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%20" />.
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