Las coordenadas de los vértices y los focos de la elipse cuya ecuación es 20x² + 25y² = 100 son :A?

Opción C.

V(±√5, 0) ; F(±1, 0)

Procedimiento :

Vértices <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28h%2Ba%2C%5C%3Ak%5Cright%29%2C%5C%3A%5Cleft%28h-a%2C%5C%3Ak%5Cright%29" /> :

Ecuación de la elipse con un centro diferente al origen con centro en (h, k) : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cleft%28x-h%5Cright%29%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%28y-k%5Cright%29%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1" />.

Siendo a y b los semiejes mayor y menor.

Reescribimos la ecuación dada en forma de la ecuación general de la elipse.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=20x%5E2%2B25y%5E2%3D100" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B%5Cfrac%7B25%7D%7B20%7Dy%5E2%3D5" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B25%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B20%7Dy%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B4%7D%3D1" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cleft%28x-0%5Cright%29%5E2%7D%7B%5Cleft%28%5Csqrt%7B5%7D%5Cright%29%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%28y-0%5Cright%29%5E2%7D%7B2%5E2%7D%3D1" />

Aplicando las propiedades de la elipse :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28h%2C%5C%3Ak%5Cright%29%3D%5Cleft%280%2C%5C%3A0%5Cright%29%2C%5C%3Aa%3D%5Csqrt%7B5%7D%2C%5C%3Ab%3D2" />

Siendo el vértice igual a :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%280%2B%5Csqrt%7B5%7D%2C%5C%3A0%5Cright%29%2C%5C%3A%5Cleft%280-%5Csqrt%7B5%7D%2C%5C%3A0%5Cright%29" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Csqrt%7B5%7D%2C%5C%3A0%5Cright%29%2C%5C%3A%5Cleft%28-%5Csqrt%7B5%7D%2C%5C%3A0%5Cright%29" />

Focos :

Definimos los focos como[img = 10] donde[img = 11] es la distancia desde el centro a uno de los focos.

Calculamos c

[img = 12]

Sustituimos en[img = 13]siendo las coordenadas de los focos :

[img = 14]

[img = 15]

Puedes encontrar más ejercicios acerca del cálculo de los vértices y focos de una elipse enbrainly.

Lat / tarea / 1022267.