Hola me ayudan : La función f(x) = ax˄3 + bx˄2 + cx + d tiene un máximo relativo en x = 1 y un punto de inflexión en (0, 0)?

Tienes lo siguiente :

1)f(x) tiene un máximo relativo en x = 1

Para calcular un máximo debes calcular la primera derivada e igualar a cero : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D3ax%5E2%2B2bx%2Bc%3D0%20%5C%5C%20f%27%281%29%3D3a%281%29%2Bb%281%29%2Bc%3D3a%2B2b%2Bc%3D0%20" /> :

2) Tiene un punto de inflexión en (0, 0) :

Hay un punto de inflexión cuando la tercera derivada es diferente de cero :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%27%28x%29%3D6a%20%5Cneq%200%5Cto%20a%20%5Cneq%200" />

Además calculas las raíces de la segunda derivada para saber dónde hay puntos de inflexión :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%28x%29%3D6ax%2B2b%3D0%20%5C%5C%20x%3D-%20%5Cfrac%7B2b%7D%7B6a%7D%20%3D-%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%3D0%20%5C%5C%20-b%3D3a%280%29%3D0%5Cto%20%5Cboxed%7Bb%3D0%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20f%28x%29%3Dax%5E3%2Bcx%2Bd%5C%5Cf%280%29%3Da%280%29%5E3%2Bc%280%29%2Bd%3D0%5Cto%20%5Cboxed%7Bd%3D0%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20De%5C%201%29%5C%203a%2B2b%2Bc%3D0%3D3a%2Bc%5C%5C%5Cboxed%20%7Ba%3D-%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B3%7D%20%7D" />

3)La integral ∫_0 ^ 1 f(x) = 5 / 4 :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3Dax%5E3%2Bcx%20%5C%5C%20%20%5Cint%5Climits%5E1_0%20%7Bax%5E3%2Bcx%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%5B%20%5Cfrac%7Bax%5E4%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%7Bcx%5E2%7D%7B2%7D%20%20%5D%5E1_0%3D%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B4%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B%28-%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B3%7D%20%29%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%3D-%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B12%7D%2B%20%5Cfrac%7B6c%7D%7B12%7D%3D%20%5Cfrac%7B5c%7D%7B12%7D%20%20%20%20%20%20%20%5C%5C%20c%3D%28%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%20%29%28%20%5Cfrac%7B12%7D%7B5%7D%20%29%3D%5Cboxed%7B3%3Dc%7D%20%5C%5C%20a%3D-%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B3%7D%3D-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D%3D%5Cboxed%7B-1%3Da%7D%20%20" />

a = - 1 ; b = 0 ; c = 3 ; d = 0

Saludos!