Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función : f (x) = (x ^ 2) (x + 1)?

Respuesta.

Para el primer ejercicio, tenemos la siguiente función :

f(x) = x²·(x - 1)

Procedemos a resolver la distributiva.

F(x) = x³ - x²

Ahora, tenemos que encontrar máximos, mínimos y punto de inflexión, para ello debemos buscar la primera y segunda derivada.

F'(x) = 3x² - 2xf''(x) = 6x - 2Igualamos la primera derivada a cero para los máximos y mínimos :

3x² - 2x = 0

x(3x - 2) = 0

Tenemos dos puntos críticos :

x = 0

3x - 2 = 0 → x = 2 / 3

Verificamos en la segunda derivada si es máximo o mínimos.

F''(0) = 6·0 - 2 = - 2 → Negativo, es decir, un máximo

f''(0) = 6·(2 / 3) - 2 = + 2 → Positivo, es decir, un mínimo

Buscamos la imagen de cada punto.

F( 0) = 0³ - (0)² = 0

f(2 / 3) = (2 / 3)³ - (2 / 3)² = - 4 / 27

Entonces, nuestros puntos son :

MÍNIMO → (2 / 3, - 4 / 27)MÁXIMO → ( 0, 0)

El punto de inflexión es cuando la segunda derivada es igual a cero, tenemos que :

6x - 2 = 0 x = 1 / 3

Tenemos un punto de inflexión en 1 / 3, buscamos la imagen

f(1 / 3) = (1 / 3)³ - (1 / 3)² = - 2 / 27

PUNTO DE INFLEXIÓN → (1 / 3, - 2 / 27).