Dada la funcion y = x³ + 3x² - 2. Determine a. - los puntos maximos y minimos de la funcion. B. - los puntos de inflexion c. - las ecuaciones de la recta tangente y normal en el punto de inflexion. D. - realice un bosquejo de la grafica.
En resumen
Dada la función y = x³ + 3x² - 2 : a) Los puntos máximos y mínimos son se encuentran en x = 0 y x = - 2.
Dada la función y = x³ + 3x² - 2 : a) Los puntos máximos y mínimos son se encuentran en x = 0 y x = - 2.
B) El punto de inflexión se encuentra en x = - 1 c) Las ecuaciones de la recta tangente y normal en el punto de inflexion son y = - 3x - 1, y = (x / 3) + (1 / 3), respectivamente d) la gráfica de la función se puede observar en la foto que se anexa.
Calculo de los puntos máximos y mínimos En esta parte se usan la 1era y segunda derivada de la funciónf(x) = x³ + 3x² - 2Primera derivada = > f'(x) = 3x² + 6xSegunda derivada = > f''(x) = 6x + 6Hacemos f'(x) = 0 = > 3x² + 6x = 0 esta ecuación tiene dos raicesx₁ = 0x₂ = - 2Evaluamos ahora la 2da derivada en esos dos puntosf''(0) = 6(0) + 6 = > f''(0) = 6 > 0 = > Hay una minimo en x = 0f''( - 2) = 6( - 2) + 6 = > f''( - 2) = - 6 < 0 = > Hay un maximo x = - 2Cálculo del punto de inflexiónAqui se usará la 2da derivadaf''(x) = 0 = > 6x + 6 = 0 = > x = - 1 = > Hay un punto de inflexión aqui Recta tangente en el punto de inflexiónForma general = > y - f(a) = f'(a)(x - a) ; siendoa : Punto de inflexión que en nuestro caso es x = - 1 ; entoncesf( - 1) = ( - 1)³ + 3( - 1)² - 2 = > f( - 1) = 0f'( - 1) = 3( - 1)² + 6( - 1) = > f'( - 1) = - 3hacemos las respectivas sustitucionesy - 0 = - 3(x + 1)y = - 3x - 1 = > Recta tangente al punto de inflexión Calculo de la recta normalFormula general = > y - f(a) = - (1 / f'(a))(x - a) ; Hacemos las sustitucionesy - 0 = - (1 / - 3)(x + 1)y = (1 / 3)x + (1 / 3) = > Recta normal al punto de inflexión.
