Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto A(7, - 5) y es tangente a la recta x - y - 4 igual a 0 en el punto B(3, - 1)?

Al decir que la recta es tangente, significa que una línea perpendicular a ésta pasa por el centro, entonces determinamos la ecuación de la recta perpendicular :

m = - 1 / ( - 1) = 1

m' = - 1 / m = - 1

y + 1 = - 1(x - 3)

y + 1 = - x + 3

x + y - 2 = 0 (Ec.

1)

Ahora, tomamos AB como el lado de un triángulo, entonces determinamos su mediatriz (punto medio y pendiente perpendicular)

Pm = (3 + 7 / 2, - 5 - 1 / 2) = (5, - 3)

m = ( - 1 + 5) / (3 - 7) = 4 / ( - 4) = - 1

m' = - 1 / - 1 = 1

y + 3 = x - 5

x - y - 8 = 0 (Ec.

2)

Hacemos un sistema de ecuaciones con las marcadas, donde :

x = 5, y = - 3

Entonces, el centro es (5, - 3)

Sacamos el radio, el cual es la distancia del centro a (7, - 5) o a (3, - 1)

r = √(5 - 7) ^ 2 + ( - 3 + 5) ^ 2 = √(4 + 4) = 2√2

La fórmula de la circunferencia es :

(x - 5) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = (2√2) ^ 2

Elevamos, simplificamos e igualamos 0 :

x ^ 2 - 10x + 25 + y ^ 2 + 6y + 9 = 8

x ^ 2 + y ^ 2 - 10x + 6y + 26 = 0.