Hallar el vertice de cada función cuadratica ?

Hola!

Como todas son funciones cuadraticas, su dominio seran todos los reales.

Ahora bien, para el rango de cada una de las 5 funciones, debemos despejar x, asi que vamos por ello!

1) f(x) = 2x ^ 2 + 12x + 15

como f(x) es lo mismo que "y", tambien como es una ecuacion cuadratica su grafica sera una parabola, y donde este el vertice, de esa parabola hallaremos el rango, para ello haremos lo siguiente :

el vertice de una parabola de la forma ax ^ 2 + bx + c, usaremos esta pequeña formula donde x = - b / 2a

entonces reemplacemos valores.

A = 2 ; b = 12 ; c = 15

x = - (12) / 2(2)

x = - 3 - - - > tenemos el valor x del vertice, este valor lo reemplazamos en la ecuacion original para hallar y

y = 2x ^ 2 + 12x + 15

y = 2( - 3) ^ 2 + 12( - 3) + 15

y = - 3 - - - > obtenemos el valor de y

ya tenemos el vertice de la parabola que sera V ( - 3 ; - 3)

entonces como el 2 que esta antes de la x es positivo la parabola se abre hacia arriba, por lo que su rango queda definido de y € [ - 3 ; infinito)

PARA LOS DEMAS EJERCICIOS ES EL MISMO PROCEDIMIENTO, POR LO QUE NO PONDRE LO MISMO SOLO LAS RESPUESTAS!

2) f(x) = 4x ^ 2 - 2x - 5

Dom : x € R

Vertice

x = - b / 2a

a = 4 ; b = - 2 ; c = - 5

x = - ( - 2) / 2(4)

x = 1 / 4

y = 4x ^ 2 - 2x - 5

y = 4(1 / 4) ^ 2 - 2(1 / 4) - 5

y = - 21 / 4

V ( 1 / 4 ; - 21 / 4)

Ran : y € [ - 21 / 4 ; infinito)

3) f(x) = x ^ 2 + 3x + 2

Dom : x € R

Vertice

x = - b / 2a

a = 1 ; b = 3 ; c = 2

x = - (3) / 2(1)

x = - 3 / 2

y = - 1 / 4

V ( - 3 / 2 ; - 1 / 4)

Ran : y € [ - 1 / 4 ; infinito)

4) f(x) = 2x ^ 2 + 5x

Dom : x € R

V ( - 5 / 4 ; - 25 / 8)

Ran : y € [ - 25 / 8 ; infinito)

5) f(x) = - x ^ 2 + 16x + 8

Dom : x € R

V ( 8 ; 72)

Ran : [ 72 ; - infinito)

en este caso como antes de la x ^ 2 esta el signo ( - ) , la parabola se abre hacia abajo.

Bueno eso es todo espero haberte ayudado, en los ultimos no puse todo el procedimiento porque ya esta en el primero y es exactamente igual para los demas.

Suerte!