Halla la suma de los 26 primeros términos de la progresión sabiendo que a 4 = - 13y a9 = - 33?

Progresión geométrica

Serie geométrica 1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + .

Converge a 2.

Unaprogresión geométricaestá constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominadarazónofactorde la progresión.

Se suele reservar el términoprogresióncuando la secuencia tiene una cantidadfinitadetérminosmientras que se usasucesióncuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque :

15 = 5 × 345 = 15 × 3135 = 45 × 3405 = 135 × 3y así sucesivamente.

Aunque es más fácil aplicando la fórmula :

Siendoel término en cuestión, el primer término yla razón :

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

Contenido

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1Ejemplos de progresiones geométricas

2Suma de términos de una progresión geométrica

2.

1Suma de los primerosntérminos de una progresión geométrica

2.

2Suma de términos infinitos de una progresión geométrica

3Véase también

4Enlaces externos

[editar]Ejemplos de progresiones geométricas

La progresión1, 2 , 4 , 8 , 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que5, 10, 20, 40.

La razón no necesariamente tiene que ser un número entero.

Así, 12, 3, 0.

75, 0.

1875es una progresión geométrica con razón 1 / 4.

La razón tampoco tiene por qué ser positiva.

De este modo la progresión3, - 6, 12, - 24tiene razón - 2.

Este tipo de progresiones es un ejemplo deprogresión alternanteporque los signos alternan entre positivo y negativo.

Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante : 7, 7, 7, 7

Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo : 4, 0, 0, 0.

Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente queen la definición.

[editar]Suma de términos de una progresión geométrica

[editar]Suma de los primerosntérminos de una progresión geométrica

Se denomina comoSna la suma dentérminos consecutivos de una progresión geométrica :

Sn = a1 + a2 + .

+ an - 1 + anSi se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresiónr.

Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,

Si se procede a restar de esta igualdad la primera :

Snr = a2 + a3 + .

+ an - 1 + an + anrSn = a1 + a2 + .

+ an - 1 + an_______________________________Snr - Sn = - a1 + anro lo que es lo mismo,

Sn( r - 1 ) = anr - a1Si se despejaSn,

De esta manera se obtiene la suma de losntérminos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma.

Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresiónancomo

Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente :

con lo que se obtiene la siguiente igualdad :

Con esta fórmula se puede obtener la suma dentérminos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.

Si queremos calcular el resultado de una suma dentérminos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión :

pero primero debe dar un ejemplo

[editar]Suma de términos infinitos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito.

En efecto, si, tiende hacia 0, de modo que :

En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula :