Evaluar las siguientes integrales impropias y grafiquelas en Geogebra para determinar si convergen o divergen. 4. ∫_0 ^ ∞ x / e ^ ( - x) dx.
En resumen
Tenemos la siguiente integral impropia. ∫x / e⁻ˣ dx Evaluada desde [0, + ∞)Siempre que tengamos una impropia debemos buscar el dominio de la función. F(x) = x / e⁻ˣ Podemos observar que la función tiene como dominio todos los reales.
Tenemos la siguiente integral impropia.
∫x / e⁻ˣ dx Evaluada desde [0, + ∞)Siempre que tengamos una impropia debemos buscar el dominio de la función.
F(x) = x / e⁻ˣ Podemos observar que la función tiene como dominio todos los reales.
Así que nuestro único inconveniente es el infinito.
Ahora, procedemos a resolver la integral, la escribimos de otra forma.
∫x·eˣ dxAplicamos un proceso de por parte y tenemos : ∫u·v = u·v - ∫v·du Seleccionamos los parámetros.
U = x → du = dx v = ∫eˣ dx → v = eˣTenemos entonces que : I = xeˣ - ∫eˣ dx I = xeˣ - eˣ Ahora debemos evaluarla en los limites de la integrales, pero tenemos que un limite es infinito, por tanto haremos un pequeño cambio.
A = ∞I = [ xeˣ - eˣ ]₀ ᵃEvaluamos limite superior menos limite inferior : I = a·eᵃ - eᵃ - (0·e⁰ - e⁰) I = a·eᵃ - eᵃ + 1Ahora debemos sacar el limite a nuestra expresión cuando a → ∞, tenemos : (limₐ.
∞ a·eᵃ - eᵃ) + 1Sacamos factor común y tenemos que : (limₐ.
∞ eᵃ(a - 1)) + 1Para resolver el limite debemos reescribir el limite como : (limₐ.
∞ (a - 1) / e⁻ᵃ) + 1Ahora aplicamos L'Hopital en el limite y tenemos que : (limₐ.
∞ 1 / - e⁻ᵃ) + 1 = 1 Por tanto nuestra integral impropia es convergente y converge al número 1.
Recordemos que el método de L'Hopital se usa para limites (0 / 0) y (∞ / ∞), se aplica derivando el número y denominador como funciones independientes.
Por otra parte, el limite de una constante es la constante.
Espuesta : f(x) = √((1 + x) / (1 - x)) dxCalcularemos primero el dominio de la función de modo que tenemos las siguientes restricciones : (1 - x) ≠ 0 x≠1además sabemos que ((1 + x) / (1 - x)) ≥ 0 1 - x≥0x≤1Por lo tanto…
Espuesta : f(x) = √((1 + x) / (1 - x)) dx Calcularemos primero el dominio de la función de modo que tenemos las siguientes restricciones : (1 - x) ≠ 0 x≠1 además sabemos que ((1 + x) / (1 - x)) ≥ 0 1 - x≥0 x≤1 Por lo…
Respuesta : f(x) = ((1 + x) / √(x - 1)) dxCalcularemos primero el dominio de la función de modo que tenemos las siguientes restricciones : (1 - x) ≠ 0 x≠1además sabemos que ((1 + x) / (1 - x)) ≥ 0 1 - x≥0 x≤1Por lo…