Evaluar las siguientes integrales impropias y grafiquelas en Geogebra para determinar si convergen o divergen. 1. ∫ _0 ^ 3▒dx / (x - 1) ^ (2 / 3).
En resumen
Espuesta : f(x) = 1 / √(1 - x)³) dxCalcularemos primero el dominio de la función de modo que tenemos las siguientes restricciones : (1 - x) ≠ 0 x≠1además sabemos que (1 - x)) ≥ 0 x≤1Por lo tanto Df : Todos los reales mayores que 1.
Espuesta : f(x) = 1 / √(1 - x)³) dxCalcularemos primero el dominio de la función de modo que tenemos las siguientes restricciones : (1 - x) ≠ 0 x≠1además sabemos que (1 - x)) ≥ 0 x≤1Por lo tanto Df : Todos los reales mayores que 1.
Por lo que tenemos una singularidad en x = 1 : Resolvemos la integral : .
> Evaluamos de cero a uno por la izquierda debido a que en 1 hay una singularidad, lo que nos indica que 1 - es un valor que se aproxima mucho a uno pero no es uno Evaluamos en los límites y tenemos : I = π / 2 + 1 Por lo que la función converge.
Tenemos la siguiente integral : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%5E3_0%20%7B1%2F%28x-1%29%5E%7B2%2F3%7D%20%5C%2C%20dx" />Ahora, debemos buscar el dominio de f(x), por tanto tenemos que : f(x) = 1 / (x - 1)² / ³La única restricción es que denominador debe ser distinto de cero, ya que la raíz cubica no tiene restricción entonces : x - 1 ≠ 0x ≠ 1 Entonces el dominio es Df : ( - ∞, 1) U(1, + ∞)Entonces, tenemos una singularidad en x = 1.
Observemos que nuestra impropia comienza en cero, y nuestra singularidad esta en el medio, entonces debemos separar nuestra integral, tenemos : Debemos aplicar el limite a la integral, es decir : ∫₀¹⁻ 1 / (x - 1)² / ³ dx + ∫₁₊³ 1 / (x - 1)² / ³ dxLim(a→∞) ∫₀ᵃ⁻ 1 / (x - 1)² / ³ dx + ∫ₐ₊³ 1 / (x - 1)² / ³ dxPasamos a resolver la integral, tenemos que : ∫ 1 / (x - 1)² / ³ dx Aplicamos propiedad de potencia, tenemos que : ∫ (x - 1)⁻² / ³ dx Aplicamos inmediata y tenemos que : I = 3·(x - 1)¹ / ³ Ahora colocamos los limites a evaluar, tenemos que : I = 3·(x - 1)¹ / ³ |₀ᵃ⁻ + 3·(x - 1)¹ / ³ |ₐ₊³ Evaluamos limite superior menos limite inferior : I = [3·(a - 1)¹ / ³ - 3·(0 - 1)¹ / ³] + [3·(3 - 1)¹ / ³ - 3·(a - 1)¹ / ³] I = [3·(a - 1)¹ / ³ + 3] + [3·∛2 - 3·(a - 1)¹ / ³]Ahora, falta sacar el limite, es decir : I = Lim(a→∞) [3·(a - 1)¹ / ³ - 3] + Lim(a→∞) [3·∛2 - 3·(a - 1)¹ / ³]I = + 3 + 3·∛2Por tanto, nuestra integral converge a 6.
68. ¿TIENE SENTIDO ESTO?
Si observamos la gráfica podemos observar que el área que hay desde [0, 3] es una área finita, entonces si tiene sentido.
Espuesta : f(x) = √((1 + x) / (1 - x)) dxCalcularemos primero el dominio de la función de modo que tenemos las siguientes restricciones : (1 - x) ≠ 0 x≠1además sabemos que ((1 + x) / (1 - x)) ≥ 0 1 - x≥0x≤1Por lo tanto…
Espuesta : f(x) = √((1 + x) / (1 - x)) dx Calcularemos primero el dominio de la función de modo que tenemos las siguientes restricciones : (1 - x) ≠ 0 x≠1 además sabemos que ((1 + x) / (1 - x)) ≥ 0 1 - x≥0 x≤1 Por lo…
Tenemos la siguiente integral impropia. ∫x / e⁻ˣ dx Evaluada desde [0, + ∞)Siempre que tengamos una impropia debemos buscar el dominio de la función. F(x) = x / e⁻ˣ Podemos observar que la función tiene como dominio…
Respuesta : f(x) = ((1 + x) / √(x - 1)) dxCalcularemos primero el dominio de la función de modo que tenemos las siguientes restricciones : (1 - x) ≠ 0 x≠1además sabemos que ((1 + x) / (1 - x)) ≥ 0 1 - x≥0 x≤1Por lo…