Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones y = x ^ 3 y y = 2x - x ^ 2 ?

RESOLUCIÓN.

Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos :

1) Se determinan los puntos de corte entre las dos funciones :

Se igualan las y de las funciones :

x ^ 3 = - x ^ 2 + 2x

x ^ 3 + x ^ 2 - 2x = 0

x1 = 0

x2 = 1

x3 = - 2

Los puntos de corte entre las funciones son x1 = 0, x2 = 1 y x3 = - 2.

2) Se determina el área que encierran estas curvas mediante integrales.

A1 = |∫[x ^ 3 - ( - x ^ 2 + 2x)]dx| (Desde - 2 hasta 0)

A2 = |∫( - x ^ 2 + 2x - x ^ 3)dx| (Desde 0 hasta 1)

El área total viene dada por :

At = A1 + A2

Calculando A1 :

A1 = |∫[x ^ 3 - ( - x ^ 2 + 2x)]dx|

A1 = |∫[x ^ 3 + x ^ 2 - 2x]dx|

A1 = |x ^ 4 / 4 + x ^ 3 / 3 - x ^ 2| (Desde - 2 hasta 0)

A1 = |[( - 2) ^ 4 / 4 + ( - 2) ^ 3 / 3 - ( - 2) ^ 2] - [(0) ^ 4 / 4 + (0) ^ 3 / 3 - (0) ^ 2]|

A1 = | - 8 / 3|

A1 = 8 / 3

Calculando A2 :

A2 = |∫( - x ^ 2 + 2x - x ^ 3)dx|

A2 = | - x ^ 3 / 3 + x ^ 2 - x ^ 4 / 4| (Desde 0 hasta 1)

A2 = |[ - (1) ^ 3 / 3 + (1) ^ 2 - (1) ^ 4 / 4] - [ - (0) ^ 3 / 3 + (0) ^ 2 - (0) ^ 4 / 4]|

A2 = |5 / 12|

A2 = 5 / 12

Calculando el área total se tiene que :

At = 8 / 3 + 5 / 12 = 37 / 12 u ^ 2

El área de la región delimitada por las curvas es de 37 / 12 u ^ 2.